等式与不等式的基本性质

这篇文章基本上是基于教材重温小学、初中的知识．

等式的基本性质

• 对称性：$a=b \iff b=a$．
• 传递性：$a=b,b=c \iff a=b=c$．
• 可加性：$a=b \iff a\pm c=b\pm c$．
• 可乘性：$a=b \implies ac=bc$．
• 可除性：$a=b,c\ne0 \implies \df ac=\df bc$．

不等式的基本性质

• 对称性：$a>b \iff b<a$；$a<b \iff b>a$．
• 传递性：$a>b,b>c \implies a>c$；$a<b,b<c \implies a<c$．
• 可加性：$a>b \iff a\pm c>b\pm c$．
• 可乘性：$a>b,c>0 \implies ac>bc$；$a>b,c<0 \implies ac<bc$．
• 同向可加性：$a>b,c>d \implies a+c>b+d$．
• 同向同正可乘性：$a>b>0,c>d>0 \implies ac>bd$．
• 可乘方性：$a>b>0,n\in\N,n\ge2 \implies a^n>b^n$．
• 可开方性：$a>b>0,n\in\N,n\ge2 \implies \sqrt[n]a>\sqrt[n]b$．

关于应用传递性时能否取等：

• $a\ge b,b\ge c \implies a\ge c$．
• $a\ge b,b>c\ 或\ a>b,b\ge c \implies a>c$．

不等式的性质拓展

有关倒数的性质

• $a>b,ab>0 \implies \df1a<\df1b$．
• $a<0<b \implies \df1a<0<\df1b$．
• $a>b>0,c>d>0 \implies \df ad>\df bc$．
• $0<a<m<b\ 或\ a<m<b<0 \implies \df1b<\df1m<\df1a$．

有关分数的性质

若 $a>b>m>0$，则：

• 真分数：$\df{b-m}{a-m}<\df ba<\df{b+m}{a+m}$（糖水不等式）．

• 假分数：$\df{a+m}{b+m}<\df ab<\df{a-m}{b-m}$．

即真分数越加越大，假分数越加越小．可以用作差法证明．

其他性质

• $a<b,c<d \implies a-d<b-c$．
• 对于任意 $a\in\R$，有 $a^2\ge0$，当且仅当 $a=0$ 时等号成立．
• 对于任意 $a,b\in\R$，有 $a^2+b^2\ge2ab$，当且仅当 $a=b$ 时等号成立．证明：$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab\ge0$，所以 $a^2+b^2\ge2ab$．

不等式基本性质的有关题型

不等式的基本性质的直接应用

例 1

（多选题） 已知 $a>b\ge2$，则（　　）

• A. $b^2<3b-a$
• B. $a^3+b^3>a^2b+ab^2$
• C. $ab>a+b$
• D. $\df12+\df2{ab}>\df1a+\df1b$

例 1 解答

对于 A，由于 $b-a<0$，所以若 A 成立，则 $b^2-2b<b-a<0$，而当 $b\ge2$ 时，$b^2-2b=b(b-2)\ge2\times0=0$，因此 A 错误．

对于 B，作差化简得 $(a-b)^2(a+b)>0$ 成立，因此 B 正确．

对于 C，两端除以 $ab$ 得 $\df1a+\df1b<1$，由于 $a>2,b\ge2$，所以 $0<\df1a<\df12,0<\df1b\le\df12$，所以 $\df1a+\df1b<1$ 成立，因此 C 正确．

对于 D，作差通分化简得 $\df{(a-2)(b-2)}{2ab}>0$，由于 $a>2,b\ge2$，所以 $a-2>0,b-2\ge0,2ab>0$，所以 $\df{(a-2)(b-2)}{2ab}\ge0$，即该式可以等于 $0$，因此 D 错误．

故选 BC．

对于这种选择题，如果直接证明比较困难，我们可以尝试 代入特殊值 来找反例．如：

• 例 1 A 选项：代入 $a=3,b=2$ 得 $b^2=4,3b-a=3$，因此不成立．

• 例 1 D 选项：代入 $a=3,b=2$ 得 $\df12+\df2{ab}=\df1a+\df1b=\df56$，因此不成立．

作差法与作商法比较大小

证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、反证法、同构法、放缩法等．其中同构法与放缩法将在之后提及．下面主要介绍 作差法 与 作商法．

为了将不等式两侧的数或式子移至同一侧，并且使另一侧留下来的数易于比较，我们可以采用作差法或作商法．

作差法是将不等式两侧作差移至同一侧，判断得到的差与 $0$ 的大小关系，从而证明不等式．

作商法是将不等式两侧作商移至同一侧（注意变号），判断得到的商与 $1$ 的大小关系，从而证明不等式．

例 2

若 $a<0,b<0$，判断 $p=\df{b^2}a+\df{a^2}b$ 与 $q=a+b$ 的大小关系．

在答题时，如果所证明的不等式可以取等，一定要说明取等条件．

例 2 解答 1（作差法）

$$\bal p-q &=\df{b^2}a+\df{a^2}b-a-b \\ &=\df{b^2-a^2}{a}+\df{a^2-b^2}{b} \\ &=(b^2-a^2)(\df1a-\df1b) \\ &=\df{(b-a)^2(b+a)}{ab}. \eal$$

因为 $a<0,b<0$，所以 $a+b<0,ab>0$，又 $(b-a)^2\ge0$，所以 $p-q\le0$，所以 $p\le q$，当且仅当 $a=b$ 时等号成立．

例 2 解答 2（作商法）

首先有 $p=\df{a^3+b^3}{ab}=\df{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab}$，又 $a^2+b^2\ge2ab$（参见上文不等式的其他性质），因此

$$\df pq=\df{a^2-ab+b^2}{ab}\ge\df{2ab-ab}{ab}=1,$$

当且仅当 $a=b$ 时等号成立．由于 $q<0$，所以 $p\le q$．

求代数式的取值范围

直接给出一般题型：

例 3

已知 $m_1<f_1(a,b)<n_1$，$m_2<f_2(a,b)<n_2$，求 $g(a,b)$ 的取值范围．其中 $f_1,f_2,g$ 是二元一次函数，具有 $k_1a+k_2b$ 的形式．

例 3 解答（待定系数法）

设 $g(a,b)=pf_1(a,b)+qf_2(a,b)$．左右两边 $a$ 和 $b$ 的系数相等，由此列出方程组求得 $p,q$．根据不等式的同向可加性，将两个已知条件分别乘以 $p$ 和 $q$ 然后相加，得到的即为 $g(a,b)$ 的范围：

$$pm_1+qm_2<g(a,b)<pn_1+qn_2.$$

糖水不等式的应用

例 4

在锐角 $\triangle ABC$ 中，求证：

（1）$\df A{B+C}+\df B{C+A}+\df C{A+B}<2$；

（2）$\df c{1+c}<\df a{1+a}+\df b{1+b}$．

例 4 证明

（1）考虑将分母全部转化为 $A+B+C$ 以合并不等式左边的三个分式．观察到不等式具有轮换性．在锐角 $\triangle ABC$ 中，$A,B,C>0$，且 $A<B+C,B<C+A,C<A+B$，由糖水不等式有

$$\begin{gathered} \fr A{B+C}<\fr{2A}{A+B+C}, \\ \fr B{C+A}<\fr{2B}{A+B+C}, \\ \fr C{A+B}<\fr{2C}{A+B+C}. \\ \end{gathered}$$

由不等式的同向可加性，三式相加得

$$\bal \fr A{B+C}+\fr B{C+A}+\fr C{A+B}&<\fr{2A}{A+B+C}+\fr{2B}{A+B+C}+\fr{2C}{A+B+C} \\ &=\fr{2A+2B+2C}{A+B+C}=2. \eal$$

（2）考虑将分母转化为 $1+a+b$ 以合并不等式右边的两个分式．可以猜想与三角形的三边关系有关．在锐角 $\triangle ABC$ 中，$c<a+b$，所以 $a+b-c>0$，由糖水不等式有

$$\bal \fr c{1+c}<\fr{c+(a+b-c)}{1+c+(a+b-c)}&=\fr{a+b}{1+a+b}\\ &=\fr a{1+a+b}+\fr b{1+a+b}<\fr a{1+a}+\fr b{1+b}. \eal$$