斐波那契数列

在模考中，斐波那契（Fibonacci）数列常常作为一种新定义的题型出现．下面整理了一些斐波那契数列的性质，并给出相对易于在考场上推导出来的证明．

定义

定义数列 $\{F_n\}$ 满足

$$F_n=\begin{cases} 1,&n=1\operatorname{or}n=2,\\ F_{n-1}+F_{n-2},&n\ge3. \end{cases}$$

称此数列为 斐波那契数列 或 兔子数列，它的前几项为

$$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots$$

性质

以下 $n\in\N_+$．

直接推论

递推式 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$（$n\ge3$）是推导斐波那契数列绝大部分性质的根本．

性质 1.1

$F_{n+1}+F_{n-2}=2F_n$，$n\ge3$．

证明

$\mathrm{LHS}=F_n+F_{n-1}+F_{n-2}=F_n+F_n=2F_n$．（$\mathrm{LHS}$ 是左式（Left hand side）的意思．）

性质 1.2

$F_{n+2}+F_{n-2}=3F_n$，$n\ge3$．

证明

$\mathrm{LHS}=F_{n+1}+F_n+F_{n-2}=F_n+F_{n-1}+F_n+F_{n-2}=3F_n$．

性质 1.3

$F_{n+1}F_n-F_nF_{n-1}=F_n^2$，$n\ge2$．

证明

整理得 $F_n(F_{n+1}-F_n-F_{n-1})=0$，显然成立．

有关求和的性质

一般可通过 数学归纳法 证明．

性质 2.1

$F_1+F_2+\dots+F_n=F_{n+2}-1$．

证明

当 $n=1$ 时，$F_1=1,F_3=2$，则 $F_1=F_3-1$ 成立．假设命题对 $n=k$（$k\in\N_+$）成立，则

$$F_1+F_2+\dots+F_k+F_{k+1}=F_{k+2}-1+F_{k+1}=F_{k+3}-1,$$

故命题对 $n=k+1$ 也成立．因此，由数学归纳法知，$\forall n\in\N_+$ 命题成立．

性质 2.2

$F_1+F_3+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}$．

证明

数学归纳法

当 $n=1$ 时，$F_1=F_2$ 显然成立．假设命题对 $n=k$（$k\in\N_+$）命题成立，则

$$F_1+F_3+\dots+F_{2k-1}+F_{2k+1}=F_{2k}+F_{2k+1}=F_{2k+2},$$

即 $F_1+\dots+F_{2(k+1)-1}=F_{2(k-1)}$，故命题对 $n=k+1$ 也成立．因此，由数学归纳法知，$\forall n\in\N_+$ 命题成立．

直接证明

由于 $F_{2k-1}=F_{2k}-F_{2k-2}$，$k=1,2,\cdots,n$（规定 $F_0=0$），相加得

$$F_1+F_3+\dots+F_{2n-1}=(F_2-F_0)+(F_4-F_2)+\dots+(F_{2n}-F_{2n-2})=F_{2n}-F_0=F_{2n}.$$

性质 2.3

$F_2+F_4+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1$．

证法与性质 2.2 类似，可以自行推导一下．

性质 2.4

$F_1^2+F_2^2+\dots+F_n^2=F_nF_{n+1}$．

数学归纳法，$F_1^2+F_2^2+\dots+F_k^2+F_{k+1}^2=F_kF_{k+1}+F_{k+1}^2=F_{k+1}(F_k+F_{k+1})=F_{k+1}F_{k+2}$，不再赘述．

性质 2.5

$F_3+F_6+\dots+F_{3n}=\dfrac12(F_{3n+2}-1)$．

证明

数学归纳法．$n=1$ 时，由于 $F_3=2,F_5=5$，故 $F_3=\dfrac12(F_5-1)$ 成立．假设命题对 $n=k$ 成立，则

$$\begin{aligned} F_3+F_6+\dots+F_{3k}+F_{3k+3}&=\frac12(F_{3k+2}-1)+F_{3k+3}=\frac12(F_{3k+2}+2F_{3k+3}-1)\\ &=\frac12{F_{3k+4}+F_{3k+3}-1}=\frac12{F_{3k+5}-1}. \end{aligned}$$

故 $n=k+1$ 时命题也成立．因此，命题对 $\forall n\in\N_+$ 成立．

同理可证

$$\begin{aligned} &F_1+F_4+\dots+F_{3n-2}=\frac12F_{3n},\\ &F_2+F_5+\dots+F_{3n-1}=\frac12(F_{3n+1}-1). \end{aligned}$$

性质 2.6

$F_1+2F_2+\dots+nF_n=(n+1)F_{n+2}-F_{n+4}+2$．

证明

数学归纳法．$n=1$ 时，由于 $F_1=1,F_3=2,F_5=5$，故 $F_1=2F_3-F_5+2$ 成立．假设命题对 $n=k$ 成立，则

$$\begin{aligned} F_1+2F_2+\dots+kF_k+(k+1)F_{k+1}&=(k+1)F_{k+2}-F_{k+4}+2+(k+1)F_{k+1}\\ &=(k+1)F_{k+3}-(F_{k+5}-F_{k+3})+2\\ &=(k+2)F_{k+3}-F_{k+5}+2. \end{aligned}$$

故命题对 $n=k+1$ 也成立．因此，命题对 $\forall n\in\N_+$ 成立．

下标有数量关系的性质

以下 $m,n\in\N_+$．

性质 3.1

$F_{m-1}F_{n-1}+F_mF_n=F_{m+n-1}$，$m,n\ge2$．

证明

假设 $n$ 为常数，$m$ 为变量（主元法），则

$$\begin{aligned} F_{m-1}F_{n-1}+F_mF_n&=F_{m-1}F_{n-1}+(F_{m-2}+F_{m-1})F_n\\ &=F_{m-1}(F_{n-1}+F_n)+F_{m-2}F_n\\ &=F_{m-2}F_n+F_{m-1}F_{n+1}. \end{aligned}$$

一直递推下去可得

$$\begin{aligned} F_{m-1}F_{n-1}+F_mF_n&=F_{m-2}F_n+F_{m-1}F_{n+1}\\ &=F_{m-3}F_{n+1}+F_{m-2}F_{n+2}\\ &=\dots=F_{1}F_{m+n-3}+F_{2}F_{m+n-2}\\ &=F_{m+n-3}+F_{m+n-2}=F_{m+n-1}. \end{aligned}$$

性质 3.1'

$F_mF_n+F_{m+1}F_{n+1}=F_{m+n+1}$．

性质 3.2 至 3.4 是性质 3.1 和性质 3.1' 的直接推论，性质 3.5 是性质 3.4 的直接推论，证明是显然的．

性质 3.2

$F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$．

性质 3.3

$F_{n+1}^2+F_{n-1}^2=F_{2n}$，$n\ge2$．

性质 3.4

$\dfrac{F_{2n}}{F_n}=F_{n+1}+F_{n-1}$，$n\ge2$．

性质 3.5

$F_{2n}=F_n^2+2F_nF_{n-1}$，$n\ge2$．

性质 3.6

$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$，$n\ge2$．

证明

数学归纳法．$n=2$ 时有 $F_3F_1-F_2^2=1=(-1)^2$ 成立．假设命题对 $n=k$ 成立，则对 $n=k+1$ 有

$$\begin{aligned} F_{k+2}F_k-F_{k+1}^2&=(F_{k+1}+F_k)F_k-F_{k+1}^2\\ &=F_k^2+F_{k+1}(F_k-F_{k+1})\\ &=F_k^2-F_{k+1}F_{k-1}\\ &=-(-1)^k=(-1)^{k+1}. \end{aligned}$$

故命题对 $n=k+1$ 成立，进而 $\forall n\in\N_+,n\ge2$，命题成立．

性质 3.7

$F_n^2+F_{n+3}^2=2(F_{n+1}^2+F_{n+2}^2)$．

证明

由性质 3.6 知

$$\begin{gathered} F_{n+2}F_n-F_{n+1}^2=(-1)^{n+1},\\ F_{n+3}F_{n+1}-F_{n+2}^2=(-1)^{n+2}, \end{gathered}$$

两式相加得

$$F_{n+2}F_n+F_{n+3}F_{n+1}-F_{n+1}^2-F_{n+2}^2=0,$$

即

$$\begin{aligned} 2(F_{n+1}^2+F_{n+2}^2)&=2(F_{n+2}F_n+F_{n+3}F_{n+1})\\ &=2[(F_n+F_{n+1})F_n+(F_n+2F_{n+1})F_{n+1}]\\ &=4F_{n+1}^2+4F_{n+1}F_n+2F_n^2\\ &=F_n^2+(2F_{n+1}+F_n)^2\\ &=F_n^2+F_{n+3}^2. \end{aligned}$$

参考资料

• [常考]：斐波那契数列的性质及证明 - 知乎
• 新教材中的数列新定义系列1——斐波那契数列与36恒等式