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斐波那契数列

在模考中，斐波那契（Fibonacci）数列常常作为一种新定义的题型出现．下面整理了一些斐波那契数列的性质，并给出相对易于在考场上推导出来的证明．

定义​

定义数列 {Fn}\{F_n\} 满足

Fn={1,n=1or⁡n=2,Fn−1+Fn−2,n≥3.F_n=\begin{cases} 1,&n=1\operatorname{or}n=2,\\ F_{n-1}+F_{n-2},&n\ge3. \end{cases}

称此数列为 斐波那契数列 或 兔子数列，它的前几项为

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots

性质​

以下 n∈N+n\in\N_+．

直接推论​

递推式 Fn=Fn−1+Fn−2F_n=F_{n-1}+F_{n-2}（n≥3n\ge3）是推导斐波那契数列绝大部分性质的根本．

性质 1.1

Fn+1+Fn−2=2FnF_{n+1}+F_{n-2}=2F_n，n≥3n\ge3．

证明

LHS=Fn+Fn−1+Fn−2=Fn+Fn=2Fn\mathrm{LHS}=F_n+F_{n-1}+F_{n-2}=F_n+F_n=2F_n．（LHS\mathrm{LHS} 是左式（Left hand side）的意思．）

性质 1.2

Fn+2+Fn−2=3FnF_{n+2}+F_{n-2}=3F_n，n≥3n\ge3．

证明

LHS=Fn+1+Fn+Fn−2=Fn+Fn−1+Fn+Fn−2=3Fn\mathrm{LHS}=F_{n+1}+F_n+F_{n-2}=F_n+F_{n-1}+F_n+F_{n-2}=3F_n．

性质 1.3

Fn+1Fn−FnFn−1=Fn2F_{n+1}F_n-F_nF_{n-1}=F_n^2，n≥2n\ge2．

证明

整理得 Fn(Fn+1−Fn−Fn−1)=0F_n(F_{n+1}-F_n-F_{n-1})=0，显然成立．

有关求和的性质​

一般可通过 数学归纳法 证明．

性质 2.1

F1+F2+⋯+Fn=Fn+2−1F_1+F_2+\dots+F_n=F_{n+2}-1．

证明

当 n=1n=1 时，F1=1,F3=2F_1=1,F_3=2，则 F1=F3−1F_1=F_3-1 成立．假设命题对 n=kn=k（k∈N+k\in\N_+）成立，则

F1+F2+⋯+Fk+Fk+1=Fk+2−1+Fk+1=Fk+3−1, F_1+F_2+\dots+F_k+F_{k+1}=F_{k+2}-1+F_{k+1}=F_{k+3}-1,

故命题对 n=k+1n=k+1 也成立．因此，由数学归纳法知，∀n∈N+\forall n\in\N_+ 命题成立．

性质 2.2

F1+F3+⋯+F2n−1=F2nF_1+F_3+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}．

证明

当 n=1n=1 时，F1=F2F_1=F_2 显然成立．假设命题对 n=kn=k（k∈N+k\in\N_+）命题成立，则

F1+F3+⋯+F2k−1+F2k+1=F2k+F2k+1=F2k+2, F_1+F_3+\dots+F_{2k-1}+F_{2k+1}=F_{2k}+F_{2k+1}=F_{2k+2},

即 F1+⋯+F2(k+1)−1=F2(k−1)F_1+\dots+F_{2(k+1)-1}=F_{2(k-1)}，故命题对 n=k+1n=k+1 成立．因此，由数学归纳法知，∀n∈N+\forall n\in\N_+ 命题成立．

性质 2.3

F2+F4+⋯+F2n=F2n+1−1F_2+F_4+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1．

证法与性质 2.2 类似，可以自行推导一下．

性质 2.4

F12+F22+⋯+Fn2=FnFn+1F_1^2+F_2^2+\dots+F_n^2=F_nF_{n+1}．

数学归纳法，F12+F22+⋯+Fk2+Fk+12=FkFk+1+Fk+12=Fk+1(Fk+Fk+1)=Fk+1Fk+2F_1^2+F_2^2+\dots+F_k^2+F_{k+1}^2=F_kF_{k+1}+F_{k+1}^2=F_{k+1}(F_k+F_{k+1})=F_{k+1}F_{k+2}，不再赘述．

性质 2.5

F3+F6+⋯+F3n=12(F3n+2−1)F_3+F_6+\dots+F_{3n}=\dfrac12(F_{3n+2}-1)．

证明

数学归纳法．n=1n=1 时，由于 F3=2,F5=5F_3=2,F_5=5，故 F3=12(F5−1)F_3=\dfrac12(F_5-1) 成立．假设命题对 n=kn=k 成立，则

F3+F6+⋯+F3k+F3k+3=12(F3k+2−1)+F3k+3=12(F3k+2+2F3k+3−1)=12F3k+4+F3k+3−1=12F3k+5−1.\begin{aligned} F_3+F_6+\dots+F_{3k}+F_{3k+3}&=\frac12(F_{3k+2}-1)+F_{3k+3}=\frac12(F_{3k+2}+2F_{3k+3}-1)\\ &=\frac12{F_{3k+4}+F_{3k+3}-1}=\frac12{F_{3k+5}-1}. \end{aligned}

故 n=k+1n=k+1 时命题也成立．因此，命题对 ∀n∈N+\forall n\in\N_+ 成立．

同理可证

F1+F4+⋯+F3n−2=12F3n,F2+f5+⋯+F3n−1=12(F3n+1−1).\begin{aligned} &F_1+F_4+\dots+F_{3n-2}=\frac12F_{3n},\\ &F_2+f_5+\dots+F_{3n-1}=\frac12(F_{3n+1}-1). \end{aligned}
性质 2.6

(n+1)Fn+2−Fn+4+2(n+1)F_{n+2}-F_{n+4}+2．

证明

数学归纳法．n=1n=1 时，由于 F1=1,F3=2,F5=5F_1=1,F_3=2,F_5=5，故 F1=2F3−F5+2F_1=2F_3-F_5+2 成立．假设命题对 n=kn=k 成立，则

F1+2F2+⋯+kFk+(k+1)Fk+1=(k+1)Fk+2−Fk+4+2+(k+1)Fk+1=(k+1)Fk+3−(Fk+5−Fk+3)+2=(k+2)Fk+3−Fk+5+2.\begin{aligned} F_1+2F_2+\dots+kF_k+(k+1)F_{k+1}&=(k+1)F_{k+2}-F_{k+4}+2+(k+1)F_{k+1}\\ &=(k+1)F_{k+3}-(F_{k+5}-F_{k+3})+2\\ &=(k+2)F_{k+3}-F_{k+5}+2. \end{aligned}

故命题对 n=k+1n=k+1 也成立．因此，命题对 ∀n∈N+\forall n\in\N_+ 成立．

下标有数量关系的性质​

以下 m,n∈N+m,n\in\N_+．

性质 3.1

Fm−1Fn−1+FmFn=Fm+n−1F_{m-1}F_{n-1}+F_mF_n=F_{m+n-1}，m,n≥2m,n\ge2．

证明

假设 nn 为常数，mm 为变量（主元法）．则

Fm−1Fn−1+FmFn=Fm−1Fn−1+(Fm−2+Fm−1)Fn=Fm−1(Fn−1+Fn)+Fm−2Fn=Fm−2Fn+Fm−1Fn+1.\begin{aligned} F_{m-1}F_{n-1}+F_mF_n&=F_{m-1}F_{n-1}+(F_{m-2}+F_{m-1})F_n\\ &=F_{m-1}(F_{n-1}+F_n)+F_{m-2}F_n\\ &=F_{m-2}F_n+F_{m-1}F_{n+1}. \end{aligned}

一直递推下去可得

Fm−1Fn−1+FmFn=Fm−2Fn+Fm−1Fn+1=Fm−3Fn+1+Fm−2Fn+2=⋯=F1Fm+n−3+F2Fm+n−2=Fm+n−3+Fm+n−2=Fm+n−1.\begin{aligned} F_{m-1}F_{n-1}+F_mF_n&=F_{m-2}F_n+F_{m-1}F_{n+1}\\ &=F_{m-3}F_{n+1}+F_{m-2}F_{n+2}\\ &=\dots=F_{1}F_{m+n-3}+F_{2}F_{m+n-2}\\ &=F_{m+n-3}+F_{m+n-2}=F_{m+n-1}. \end{aligned}
性质 3.1'

FmFn+Fm+1Fn+1=Fm+n+1F_mF_n+F_{m+1}F_{n+1}=F_{m+n+1}．

性质 3.2 至 3.5 是性质 3.1 和性质 3.1' 的推论．

性质 3.2

Fn2+Fn+12=F2n+1F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}．

性质 3.3

Fn+12+Fn−12=F2nF_{n+1}^2+F_{n-1}^2=F_{2n}，n≥2n\ge2．

性质 3.4

F2nFn=Fn+1+Fn−1\dfrac{F_{2n}}{F_n}=F_{n+1}+F_{n-1}，n≥2n\ge2．

性质 3.5

F2n=Fn2+2FnFn−1F_{2n}=F_n^2+2F_nF_{n-1}，n≥2n\ge2．

性质 3.6

Fn+1Fn−1−Fn2=(−1)nF_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n，n≥2n\ge2．

证明

数学归纳法．n=2n=2 时有 F3F1−F22=1=(−1)2F_3F_1-F_2^2=1=(-1)^2 成立．假设命题对 n=kn=k 成立，则对 n=k+1n=k+1 有

Fk+2Fk−Fk+12=(Fk+1+Fk)Fk−Fk+12=Fk2+Fk+1(Fk−Fk+1)=Fk2−Fk+1Fk−1=−(−1)k=(−1)k+1.\begin{aligned} F_{k+2}F_k-F_{k+1}^2&=(F_{k+1}+F_k)F_k-F_{k+1}^2\\ &=F_k^2+F_{k+1}(F_k-F_{k+1})\\ &=F_k^2-F_{k+1}F_{k-1}\\ &=-(-1)^k=(-1)^{k+1}. \end{aligned}

故命题对 n=k+1n=k+1 成立，进而 ∀n∈N+,n≥2\forall n\in\N_+,n\ge2，命题成立．

性质 3.7

Fn2+Fn+32=2(Fn+12+Fn+22)F_n^2+F_{n+3}^2=2(F_{n+1}^2+F_{n+2}^2)．

证明

由性质 3.6 知

Fn+2Fn−Fn+12=(−1)n+1,Fn+3Fn+1−Fn+22=(−1)n+2,\begin{gathered} F_{n+2}F_n-F_{n+1}^2=(-1)^{n+1},\\ F_{n+3}F_{n+1}-F_{n+2}^2=(-1)^{n+2}, \end{gathered}

两式相加得

Fn+2Fn+Fn+3Fn+1−Fn+12−Fn+22=0, F_{n+2}F_n+F_{n+3}F_{n+1}-F_{n+1}^2-F_{n+2}^2=0,

即

2(Fn+12+Fn+22)=2(Fn+2Fn+Fn+3Fn+1)=2[(Fn+Fn+1)Fn+(Fn+2Fn+1)Fn+1]=4Fn+12+4Fn+1Fn+2Fn2=Fn2+(2Fn+1+Fn)2=Fn2+Fn+32.\begin{aligned} 2(F_{n+1}^2+F_{n+2}^2)&=2(F_{n+2}F_n+F_{n+3}F_{n+1})\\ &=2[(F_n+F_{n+1})F_n+(F_n+2F_{n+1})F_{n+1}]\\ &=4F_{n+1}^2+4F_{n+1}F_n+2F_n^2\\ &=F_n^2+(2F_{n+1}+F_n)^2\\ &=F_n^2+F_{n+3}^2. \end{aligned}

参考资料​