出处:教材第 105 页.
与平面内两定点 F1,F2 距离之和为以定值(大于 ∣F1F2∣)的点的轨迹叫做椭圆,定点 F1,F2 叫做椭圆的焦点,∣F1F2∣ 叫做椭圆的焦距,焦距的一半叫做半焦距。
a2x2+b2y2=1(a>b>0) 和 a2y2+b2x2=1(a>b>0) 都是椭圆的标准方程。
其中前者焦点在 x 轴上,后者焦点在 y 轴上。
当焦点在 x 轴上时,设焦点分别为 F1(−c,0),F2(c,0),椭圆上的点到两焦点距离之和为 2a,椭圆上任意一点 P(x,y)。
由椭圆第一定义:
∣PF1∣+∣PF2∣=2a(x+c)2+y2+(x−c)2+y2=2a(x+c)2+y2=2a−(x−c)2+y2
两边平方:
(x+c)2+y2=4a2+(x−c)2+y2−4a(x−c)2+y2a(x−c)2+y2=a2−cx
再平方:
a2(x−c)2+a2y2=a4+c2x2−2a2cx(a2−c2)x2+a2y2=a2(a2−c2)
两边同除 a2(a2−c2):
a2x2+a2−c2y2=1
换元 b2=a2−c2:
a2x2+b2y2=1
推导完毕。焦点在 y 轴的情况类似。
椭圆可以看做一个圆经过「伸缩」后得到的图形(人教 A 版选必一 P108 例 2),所以类比圆的参数方程可以得到:
在椭圆 a2x2+b2y2=1 上的点 P 坐标可表示为 (acosθ,bsinθ),其中 θ 为参数。
事实上,类比圆面积还可以得到椭圆面积公式 S=πab,不过没啥用。
以下均以椭圆 a2x2+b2y2=1(a>b>0) 为研究对象,另一种可类比。
∵a2x2=1−b2y2≤1∴−a≤x≤a
同理可得 −b≤y≤b,这说明椭圆 a2x2+b2y2=1 位于直线 x=±a,y=±b 围成的矩形框里。
显然椭圆既有轴对称性,又有中心对称性。
x 轴、y 轴是椭圆的两条对称轴,原点 O 为椭圆的对称中心,也叫椭圆的中心。
不妨设椭圆焦点 F1(−c,0),F2(c,0)、A1,A2 分别为椭圆与 x 轴负半轴和正半轴的交点、B1,B2 分别为椭圆与 y 轴负半轴和正半轴的交点。
不难得出 ∣F1F2∣=2c,即为焦距; A1(−a,0),A2(a,0),B1(0,−b),B2(0,b),这四个点称为椭圆的顶点;线段 A1A2 称为椭圆的长轴,∣A1A2∣=2a;线段 B1B2 称为椭圆的短轴,∣B1B2∣=2b。