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弧度制

任意角​

解三角形之前先不要着急，俗话说“磨刀不误砍柴工”，先学学弧度制也好。

在以前，数学老师就告诉过我们，把一个圆分成 360360 份，每一份是 1∘1^\circ，这样表示角的方法叫做角度制.

不过这样就有很多的问题：

  • 倘若把它放在坐标系里，应该怎么放？应该朝向那边？
  • 正转和倒转度数一样，表达的角就一样吗？
  • 角度不同，表达的角就一定不相同吗？

为了解决这些问题，不得不引入更严格的定义.

不得否认，角是两条射线共用一个端点而形成的图形，必然会有一个旋转角度，为了方便叙述，将一条射线重合于 xx 轴放置，这条射线称之为始边，另一条射线称之为终边.

那么则有定义：

  • 如果一条射线根本没做任何旋转，它形成的角称为零角.
  • 如果一条射线围绕其端点按照顺时针方向旋转，形成的角称为负角.
  • 如果一条射线围绕其端点按照逆时针方向旋转，形成的角称为正角.
  • 如果两条射线围绕其端点沿着不同旋转方向旋转相同角度，形成的两个角互为相反角.

这样的话，角度加减就很方便了： α+β=α+β\alpha + \beta = \alpha + \beta α−β=α+(−β)\alpha - \beta = \alpha + (-\beta)

最后，由于只要终边不变所形成角的大小不变.所以角 SS 可看作由旋转角度 α\alpha 和无数圆周组成的集合： S={β∣β=α+k⋅360∘,k∈Z}.S = \{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 360^\circ, k \in \mathbb{Z}\}. 当然，弧度制可以写成： S={β∣β=α+2kπ,k∈Z}.S = \{\beta \mid \beta = \alpha + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}\}.

弧度制​

一般的，称半径为 11 的圆为标准圆.

初中的时候，我们都知道圆弧长计算公式：

l=nπr360.l = \dfrac{n\pi r}{360}.

取一标准圆，在标准圆上取一角，那么角所对的弧长可以用以下公式计算：

l=n⋅π360.l = n\cdot\dfrac{\pi}{360}.

这就是角度制转化弧度制的公式.

长度等于其半径的弧的弧长为 1(rad)1 (rad) 其中 radrad 做弧长单位，读作弧度.

一般的，正角弧度为正数，负角弧度为负数. 在平面直角坐标系中，终边在哪个象限认为这个角在第几象限.