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复数

复数的概念​

数学老师摁在墙上告诉你，二元一次方程 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 在 b2−4ac<0b^2-4ac < 0 时是没有根的．严格来讲，没有实数根．

一般的，方程 x2=−1x^2 = -1 在实数范围内无解，没有一个实数的平方是负的．

倘如直接定义 (−1)2=−1(\sqrt{-1})^2 = -1 就好办了.一般的，用 i\mathrm i 作为虚数单位，其中 i=−1\mathrm i = \sqrt{-1} 等价．

值得一提的是，虽然 i=−1\mathrm i = \sqrt{-1} 等价，但为了避免混淆，除非特别声明，a\sqrt{a} 仍需认为 aa 是非负实数，并且不再使用 −1\sqrt{-1} 这样类似的表达式．同时在印刷的时候，一般将虚数单位印刷成正体 i\mathrm i 而不是斜体 ii．

实数 aa 和虚数单位 i\mathrm i 的和记作 a+ia + \mathrm i，其中 0+i=i0 + \mathrm i = \mathrm i；实数 bb 和虚数单位 i\mathrm i 的积记作 bib \mathrm i ，其中 0×i=00 \times \mathrm i = 0 ，1×i=i1 \times \mathrm i = \mathrm i．

一般的，若 aa 和 bb 都是实数，称 a+bia + b \mathrm i 为复数，用 zz 表示：

z=a+bi(a,b∈R)z = a + b \mathrm i (a, b \in \mathbb{R})

其中 aa 称为复数 zz 的实部，bb 称为复数 zz 的虚部（注意虚部也是一个实数）．分别记作：

Re(z)=a,Im(z)=bRe(z) = a, Im(z) = b

所有复数的集合成为复数集，一般用 C\mathbb{C} 表示，其定义是：

C={a+bi∣a,b∈R}\mathbb{C} = \{ a + b\mathrm{i}\mid a, b \in \mathbb{R} \}

需要记住的是，如果两个复数的实部和虚部分别相等，则认为两个复数相等；复数由其实部和虚部确定，虚部为 00 认为是实数；特别的，虚部不为 00 的称之为虚数，实部为 00 的称之为纯虚数．

复数的几何意义​

实数轴上每一点对应一个实数，那么是否存在一个虚数轴，上面每一点对应一个虚数呢？肯定是存在的．

在 z=a+bi,a,b∈Rz = a + b \mathrm {i}, a, b \in \mathbb{R} 中，复数 zz 由实数 a,ba, b 确定，可以认为是由有序实数对 (a,b)(a, b) 确定的．由此，复数可以和平面直角坐标系扯上关系：

z=a+bi⟷Z(a,b)z = a + b\mathrm{i} \longleftrightarrow Z(a, b)

值得一提的是，此时的 yy 轴称虚轴， xx 轴称实轴，平面直角坐标系 xOyxOy 称复平面．

倘若平面内存在点 Z(a,b)Z(a, b) 连接 OZOZ ，向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 与点 Z(a,b)Z(a, b) 有且只有一种对应方式，点 Z(a,b)Z(a,b) 也和向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 有且只有一种对应方式．这便是复数的第二种几何意义，即 C\mathbb{C} 中的数与点与实数轴原点形成的向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 的对应关系．

其中向量 OZ→\overrightarrow{OZ} 的模也叫复数 z=a+biz = a + b \mathrm i 的模，记作 ∣z∣\lvert z \rvert 或者 ∣a+bi∣\lvert a + b \mathrm{i} \rvert 即：

∣z∣=∣a+bi∣=a2+b2,a,b∈R\lvert z \rvert = \lvert a + b \mathrm{i} \rvert = \sqrt{a^2 + b^2 }, a, b \in \mathbb{R}

值得一提的是，相等的向量表示同一个复数．

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数，记作 z‾\overline z．也就是说如果 z=a+biz = a + b \mathrm i 那么 z‾=a−bi\overline z = a - b \mathrm i．

复数的四则运算​

加法与减法运算​

复数 z1=a1+b1iz_1 = a_1 + b _ 1 \mathrm{i} 与 z2=a2+b2iz_2 = a_2 + b _ 2 \mathrm{i} 相加：

z1+z2=a1+b1i+a2+b2i=a1+a2+(b1+b2)iz_1 + z_2 = a_1 + b_1 \mathrm{i} + a_2 + b_2 \mathrm{i} = a_1 + a_2 + (b_1 + b_2)\mathrm i

复数 z1=a1+b1iz_1 = a_1 + b _ 1 \mathrm{i} 与 z2=a2+b2iz_2 = a_2 + b _ 2 \mathrm{i} 相减：

z1−z2=a1+b1i−a2+b2i=a1−a2+(b1−b2)iz_1 - z_2 = a_1 + b_1 \mathrm{i} - a_2 + b_2 \mathrm{i} = a_1 - a_2 + (b_1 - b_2) \mathrm i

值得一提的是，向量可以使用平行四边形法则计算．

乘法与除法运算​

复数 z1=a1+b1iz_1 = a_1 + b _ 1 \mathrm{i} 与 z2=a2+b2iz_2 = a_2 + b _ 2 \mathrm{i} 相乘：

z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)iz_1 z_2 = (a_1 + b _ 1 \mathrm{i})(a_2 + b _ 2 \mathrm{i}) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2b_1)\mathrm{i}

复数 z1=a1+b1iz_1 = a_1 + b _ 1 \mathrm{i} 与 z2=a2+b2iz_2 = a_2 + b _ 2 \mathrm{i} 相除：

z1z2=a1+b1ia2+b2i=a1a2+b1b2a22+b22+a2b1−a1b2a22+b22i\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1+b_1\mathrm i}{a_2 + b_2 \mathrm i} = \frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2} + \frac{a_2 b_1 - a_1 b_2}{a _ 2 ^2 + b_2 ^2} \mathrm i

值得一提的是，向量可以使用平行四边形法则计算．

注：a1,a2,b1,b2∈Ra_1, a_2, b_1, b_2 \in \mathbb{R}，复数加法符合交换律，结合律，乘法符合分配律．