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万有引力和宇宙航行

物理学史​

  • 第谷 收集了大量精确的观测数据；
  • 开普勒 利用第谷和自己的数据，通过经验总结出了 开普勒三大定律；
  • 牛顿 提出了 万有引力定律，并利用 月地检验 验证了其普适性，在数学上证明了开普勒三大定律；
  • 卡文迪什 通过 卡文迪什扭秤实验 测出了万有引力常数的值，该实验使用了 微小量放大法。

开普勒三大定律​

下文中的“行星”指的不一定是天文学意义上的行星，而是做环绕运动的天体；“太阳”也不一定是太阳系中的那个太阳，而是提供万有引力，让行星能环绕它转动的中心天体。

如果某个恒星围绕黑洞转动，那么恒星就是“行星”，黑洞就是“太阳”。

第一定律（轨道定律）​

行星绕太阳的运动轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点。

第二定律（面积定律）​

行星和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。

推论：行星的速度大小 与 太阳到椭圆轨道在行星位置处的切线的距离 成反比。

利用微元思想不难得出此结论。

如图，即 vv 与 hh 成反比。

特别地，行星在远日点（图中 aphelion）或近日点（图中 perihelion）时，hh 就等于太阳到行星的距离。

第三定律（周期定律）​

行星公转周期的立方 与 椭圆轨道半长轴的平方 成正比。

换句话说，对于围绕同一个太阳公转的所有行星，其周期的立方与轨道半长轴的平方之比为定值。

写成表达式就是 T3a2=k\dfrac{T^3}{a^2}=k，其中 kk 为只与太阳有关的常数。

由于圆可以看做离心率为 00 的椭圆，所以这个周期等于围绕同一太阳做半径为 aa 的匀速圆周运动的天体的周期，求法将在后文提到。

万有引力定律​

牛顿指出，任意的两个物体之间均存在相互作用的引力，其大小与两物体质量之积成正比，与两物体距离的平方成反比，即：

F=Gm1m2r2F=\frac{Gm_1m_2}{r^2}

其中 GG 被称为万有引力常数，大小约为 6.67×10−11 N⋅m2⋅kg−26.67\times10^{-11}\>\rm N\cdot m^2\cdot kg^{-2}​。

月地检验​

月地检验是牛顿用来验证地面上的重力与地球对月球的引力为同一种性质的力的 思想实验。

其基本想法是，如果重力和星体间的引力遵循相同的规律（平方反比），那么月球绕地球的向心加速度应该与地面重力加速度成一定比例关系。具体来说，月心到地心的距离约为地球半径的 6060 倍，因此月球的向心加速度应为地面重力加速度的 13600\dfrac1{3600}。

牛顿通过计算证明了这一点，从而验证了万有引力定律的普适性。

等效情况​

对于质量为 mm 且质量分布均匀的 球壳，它对内部物体的万有引力为零，对外部物体可等效于球心处质量为 mm 的质点。

推论：对于质量为 mm，密度为 ρ\rho 的行星，由于其可以近似为质量分布均匀的球体，因此它对外部物体可等效于球心处质量为 mm 的质点；对于内部物体，若该物体到球心距离为 rr，则可等效于球心处质量为 43πr3ρ\dfrac43\pi r^3\rho 的质点。

注意：该结论只对球与球壳生效。其他形状，如圆盘、圆环、立方体、正方形、棍等，均不能等效为质心处的质点。如果遇到不规则形状，要灵活运用 割补法，将其补成球或球壳进行等效。

分析行星公转​

运动​

高中阶段，为了简化问题，我们常将行星的公转运动近似为匀速圆周运动。此时万有引力充当向心力。

设太阳质量为 MM，行星质量为 mm，轨道半径为 rr，有：（这三个可以写进大题过程里）

GMmr2=mv2r=mω2r=m4π2T2r\begin{aligned} \frac{GMm}{r^2}&=\frac{mv^2}r\\ &=m\omega^2r\\ &=m\frac{4\pi^2}{T^2}r \end{aligned}

整理得：

{v=GMrω=GMr3T=2πr3GM\left\lbrace \begin{aligned} &v=\sqrt{\frac{GM}r}\\ &\omega=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}\\ &T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \end{aligned} \right.

因此，行星距离太阳越远，线速度、角速度就越小，周期就越大。

能量​

行星公转的过程机械能守恒。机械能包括动能和引力势能（题目中多称为“重力势能”）。

根据开普勒第二定律，行星离太阳越远，线速度就越小，动能就越小，引力势能也就越大。

这里给出教材上没有的引力势能公式：在质量为 MM 的质点产生的引力场中，质量为 mm 的质点的引力势能为 −GMmr-\dfrac{GMm}r，其中 rr 为 mm 到 MM 的距离，无穷远处引力势能为零。

注意：比较能量大小时，一定要注意是不是同一个行星。

“黄金代换式”​

行星的重力加速度 gg 本质上是行星对地面附近物体的引力带来的加速度（不考虑自转）。

设行星的质量为 MM，半径为 RR，地面附近物体的质量为 mm，则有：

mg=GMmR2mg=\dfrac{GMm}{R^2}

即：

GM=gR2GM=gR^2

这个式子常被称为“黄金代换式”，是一个比较常用的二级结论。

类比库仑定律​

库仑定律 F电=kq1q2r2F_{电}=\dfrac{kq_1q_2}{r^2} 与万有引力定律 F引=Gm1m2r2F_{引}=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} 的形式极为相似，因此点电荷在库仑力作用下的运动可以类比天体在万有引力作用下的运动。

由于开普勒三大定律可由万有引力定律推出，因此对点电荷在库仑力作用下的运动也同样适用。

人造卫星与宇宙飞行器​

这里主要是一些常识、常用数据或经典结论，有些数据可以帮你验证自己的计算结果是否正确。

  • 地球半径约为 6000km6000\rm km
  • 空间站离地表很近，只有大约 400km400\rm km，运行周期大约是 80min⁡∼90min⁡\rm 80\min\sim 90\min
  • 人造地球卫星的轨道一定与地球球心在同一平面上
  • 同步卫星 指周期与地球自转相同（一天）的人造卫星，距地面高度约为 36000km36000\rm km
  • 静止卫星 是一种特殊的同步卫星，它的轨道与赤道在同一平面上，它相对地球静止在赤道某点上方
  • 第一宇宙速度 是物体在地表附近环绕所需的速度，计算式为 GM地R\sqrt{\dfrac{GM_{地}}{R}}，大小约为 7.9km/s7.9\rm km/s
  • 第二宇宙速度 是物体脱离地球引力所需的速度，计算式为 2GM地R\sqrt{\dfrac{2GM_{地}}{R}}，大小约为 11.2km/s11.2\rm km/s
  • 第三宇宙速度 是物体脱离太阳系引力所需的速度，大小约为 16.7km/s16.7\rm km/s
  • 三个宇宙速度都是指物体在地表发射，没有后续加速的情况

其他常识​

有些常识题目不会给你，教材里也没有，但是默认你知道，这在万有引力选择题中很常见，如：

  • 地球的自转周期为一天
  • 地球的公转周期为一年（365 天）
  • 月球的公转周期为一个月（30 天）