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简谐运动

弹簧振子中的运动学变量

水平弹簧振子

观察下面这个模型:

弹簧振子

设弹簧处于原长时,端点处于 OO 点.用外力将物体移动到 AA 点后撤去外力,设地面绝对光滑,则物体会在 ABAB 两点间永不停歇地往返移动.

这个运动模型称作 弹簧振子,弹簧上挂载的物体称作 振子;物体所受合外力为 00 的位置称作 平衡位置;物体所受弹力为 00 的点为 弹簧原长点.在水平弹簧振子模型中,物体所受的合外力就是弹力,因此平衡位置与弹簧原长点为同一位置 OO

一个约定俗成:以 平衡位置 为原点,向右为 xx 轴正方向建立一维坐标系,则物体处于 PP 点时,称 OP\overrightarrow{OP} 为物体此时的 位移,是一个矢量.

位移速度加速度 均采用矢量的「有符号表达」,即用一个有符号标量同时代表对应矢量的方向和大小.

值得指出的是,比较位移、速度、加速度大小时比的是绝对值.如 3 m\pu{-3m} 应视作比 5 m\pu{-5m} 小,比 2 m\pu{2m} 大.

信息

接下来请读者尝试填下面这个表(非常建议读者尝试自己填写一下这 24 个空,然后再和下面的答案对,不要直接看答案):

x\boldsymbol x 变大 / 变小?a\boldsymbol a 变大 / 变小?v\boldsymbol v 变大 / 变小?x\boldsymbol x 正负?a\boldsymbol a 正负?v\boldsymbol v 正负?
AOA \to O
OBO \to B
BOB \to O
OAO \to A
答案
x\boldsymbol x 变大 / 变小?a\boldsymbol a 变大 / 变小?v\boldsymbol v 变大 / 变小?x\boldsymbol x 正负?a\boldsymbol a 正负?v\boldsymbol v 正负?
AOA \to O\darr\darr\uarr-++++
OBO \to B\uarr\uarr\darr++--
BOB \to O\darr\darr\uarr++--
OAO \to A\uarr\uarr\darr-++++

为了更直观的理解,这里给出六个物理量的实际意义:

  • xx 的大小:小球与平衡位置的距离.变大等价于小球远离平衡位置,变小等价于小球接近平衡位置.
  • vv 的大小:字面意思.
  • aa 的大小:字面意思.小球加速度与小球所受外力大小成正比.
  • xx 的正负:小球相对于平衡位置的方向.为正说明小球在平衡位置的右侧,为负说明小球在平衡位置的左侧.
  • vv 的正负:小球移动的方向.为正说明小球向右移动,为负说明小球向左移动.
  • aa 的正负:字面意思.与小球所受合外力的方向相同

我们有如下性质:

  • aa 的正负不决定 vv 的变大变小,vv 的正负并不决定 xx 的变大与变小.这是因为比较位移、速度、加速度大小时,比的是绝对值(如果比较的是原值的话,这些性质理应成立).
  • xxaa 成正相关,总具有 相同变化趋势
  • vv 与上面两个变量总具有 相反变化趋势
  • xxaa 总是拥有 相反符号

后三条性质可以总结三句话:

  • 物体所受 FF_合 始终指向平衡位置(体现为 xxaa 始终异号).
  • 物体 远离 平衡位置(xx 变大)时,加速度必 变大aa 变大)、物体必 减速vv 变小).
  • 物体 接近 平衡位置(xx 变小)时,加速度必 变小aa 变小)、物体必 加速vv 变大).

非水平弹簧振子

考虑将上面的水平面做一定倾斜,或者直接将整个系统竖立(此时可撤去小球的支撑面),如:

非水平弹簧振子

将物体从平衡位置向下压至点 BB 后释放,不计任何阻力,则小球将永不停息地在 ABAB 间往复移动.

我们仍然将物体所受合外力为 00 的位置 OO 称作 平衡位置,物体所受弹力为 00 的点 OO' 称作 弹簧原长点.与水平弹簧振子不同的是,此时物体所受的合外力包括弹力与重力两个力,于是 OOOO' 不再重合,OO' 应该在 OO 的上方,因为点 OO 处弹簧仍然存在向上的弹力.

如果我们以 平衡位置 OO 为原点(注意不是 OO')建立一维坐标系,定义向上为正方向,向下为负方向,同理可以定义出振子的 位移

两个弹簧振子的共同点

这三条性质在两个弹簧振子中均成立:

  • 物体所受 FF_合 始终指向平衡位置(体现为 xxaa 始终异号).
  • 物体 远离 平衡位置(xx 变大)时,受力必 变大FF_合 变大)、加速度必 变大aa 变大)、物体必 减速vv 变小).
  • 物体 接近 平衡位置(xx 变小)时,受力必 变小FF_合 变小)、加速度必 变小aa 变小)、物体必 加速vv 变大).

也即:

  • 关于方向aaxx 一定异号(方向相反).vv 与它们的正负没有必然联系.
  • 关于变化趋势aaxx 一定是一个趋势,vv 一定是另一个趋势.

记住这个结论有助于做选择时更快得到答案,它们的背后原因已经在上面解释.

aavv 的最值点:

  • AABB 处:速度 vv 取到最小值 00;加速度 aa 取到最大值.
  • OO 处:速度 vv 取到最大值;加速度 aa 取到最小值 00

再考虑 FF_合EkE_{\mathrm k}EpE_{\mathrm p总}EpE_{\mathrm p弹}

  • FF_合 的变化趋势、最值点与 aa 一致.
  • EkE_{\mathrm k} 的变化趋势、最值点与 vv 一致.
  • EpE_{\mathrm p总} 的变化趋势、最值点与 vv 相反(最值点相反的含义是:vv 的最大值点为 EpE_{\mathrm p总} 的最小值点,vv 的最小值点同理).
  • 水平弹簧振子中,Ep=EpE_{\mathrm p弹} = E_{\mathrm p总}
  • 竖直弹簧振子中,EpE_{\mathrm p弹} 与其它物理量无必然联系.
  • EpE_{\mathrm p弹} 取到最小值 00 的点为 OO'
  • EpE_{\mathrm p弹} 取到最大值的点在 BB.注意,竖直弹簧振子中,点 AA 处弹性势能取不到最大值(想一想为什么?).
例题 1.1

(多选)如图所示,一小球在弹簧上方 BB 点由静止释放,初始时 BB 点位置弹簧处于原长状态,小球下落的最低点记为 AA 点,此后小球在 ABAB 之间做往复运动.关于小球的运动分析,下列说法错误的是:

  • A. 弹簧处于原长时,小球的速度最大
  • B. 小球从 BBAA 的运动过程中,弹簧做功为 00
  • C. 小球的速度增大时,加速度一定减小
  • D. 小球向平衡位置移动时,弹性势能一定减小

例题 1.1 图

例题 1.1 解答

此题中,B=OB = O',而 OO 点没有画出,它应当在 ABAB 的中点(至于为什么恰好是中点,学到后面会有答案).

在竖直弹簧振子中,对 O\boldsymbol OO\boldsymbol{O'} 的区分是必要的

A. O=BO' = B 是速度最小值为 00 的点,速度最大值点应为 OO.A 错误.

B. 点 AA 与点 BB 的弹性势能不等.两个角度:

  • AABB 弹簧从压缩状态到原长,弹性势能减小为 00,弹性势能一定做正功.
  • AABB 是一个弹性势能转化为重力势能的过程(端点动能均为 00,不变).

因此弹簧做功不可能为 00,B 错误.

C. vvaa 变化趋势一定相反.C 正确.

D. 竖直弹簧振子中,xxEpE_{\mathrm p} 无必然联系.事实上,从 OO'OO 的过程中,小球向平衡位置移动,弹性势能增大.D 错误.

故选 ABD

如果将题目改为水平弹簧振子,则四个选项均正确.

例题 1.2

如图所示,在光滑地面上,一弹簧左端固定在墙壁上,右端连接一个物体,点 OO 为弹簧为原长时物体的位置.现对物体施加一外力,压缩弹簧,使物体在 AA 点保持平衡,现撤去外力,物体在 ABAB 之间做往复运动.关于物体运动的分析,下列说法正确的是:

  • A. 物体的位移方向总指向平衡位置
  • B. 加速度方向总与位移方向相反
  • C. 位移方向总与速度方向相反
  • D. 速度方向总与位移方向相同

例题 1.2 图

例题 1.2 解答

A. 物体的位移方向应该总是背离平衡位置.A 错误.

B. aaxx 符号相反.B 正确.

C、D. vv 的符号与其它物理量不构成必然联系.C、D 均错误.

故选 B