简谐运动
弹簧振子中的运动学变量
水平弹簧振子
观察下面这个模型:
设弹簧处于原长时,端点处于 点.用外力将物体移动到 点后撤去外力,设地面绝对光滑,则物体会在 两点间永不停歇地往返移动.
这个运动模型称作 弹簧振子,弹簧上挂载的物体称作 振子;物体所受合外力为 的位置称作 平衡位置;物体所受弹力为 的点为 弹簧原长点.在水平弹簧振子模型中,物体所受的合外力就是弹力,因此平衡位置与弹簧原长点为同一位置 .
一个约定俗成:以 平衡位置 为原点,向右为 轴正方向 建立一维坐标系,则物体处于 点时,称 为物体此时的 位移,是一个矢量.
位移、速度 与 加速度 均采用矢量的「有符号表达」,即用一个有符号标量同时代表对应矢量的方向和大小.
值得指出的是,比较位移、速度、加速度大小时比的是绝对值.如 应视作比 小,比 大.
接下来请读者尝试填下面这个表(非常建议读者尝试自己填写一下这 24 个空,然后再和下面的答案对,不要直接看答案):
变大 / 变小? | 变大 / 变小? | 变大 / 变小? | 正负? | 正负? | 正负? | |
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变大 / 变小? | 变大 / 变 小? | 变大 / 变小? | 正负? | 正负? | 正负? | |
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为了更直观的理解,这里给出六个物理量的实际意义:
- 的大小:小球与平衡位置的距离.变大等价于小球远离平衡位置,变小等价于小球接近平衡位 置.
- 的大小:字面意思.
- 的大小:字面意思.小球加速度与小球所受外力大小成正比.
- 的正负:小球相对于平衡位置的方向.为正说明小球在平衡位置的右侧,为负说明小球在平衡位置的左侧.
- 的正负:小球移动的方向.为正说明小球向右移动,为负说明小球向左移动.
- 的正负:字面意思.与小球所受合外力的方向相同.
我们有如下性质:
- 的正负不决定 的变大变小, 的正负并不决定 的变大与变小.这是因为比较位移、速度、加速度大小时,比的是绝对值(如果比较的是原值的话,这些性质理应成立).
- 、 成正相关,总具有 相同 的 变化趋势.
- 与上面两个变量总具有 相反 的 变化趋势.
- 与 总是拥有 相反 的 符号.
后三条性质可以总结三句话:
- 物体所受 始终指向平衡位置(体现为 与 始终异号).
- 物体 远离 平衡位置( 变大)时,加速度必 变大( 变大)、物体必 减速( 变小).
- 物体 接近 平衡位置( 变小)时,加速度必 变小( 变小)、物体必 加速( 变大).
非水平弹簧振子
考虑将上面的水平面做一定倾斜,或者直接将整个系统竖立(此时可撤去小球的支撑面),如:
将物体从平衡位置向下压至点 后释放,不计任何阻力,则小球将永不停息地在 间往复移动.
我们仍然将物体所受合外力为 的位置 称作 平衡位置,物体所受弹力为 的点 称作 弹簧原长点.与水平弹簧振子不同的是,此时物体所受的合外力包括弹力与重力两个力,于是 与 不再重合, 应该在 的上方,因为点 处弹簧仍然存在向上的弹力.
如果我们以 平衡位置 为原点(注意不是 )建立一维坐标系,定义向上为正方向,向下为负方向,同理可以定义出振子的 位移.
两个弹簧振子的共同点
这三条性质在两个弹簧振子中均成立:
- 物体所受 始终指向平衡位置(体现为 与 始终异号).
- 物体 远离 平衡位置( 变大)时,受力必 变大( 变大)、加速度必 变大( 变大)、物体必 减速( 变小).
- 物体 接近 平衡位置( 变小)时,受力必 变小( 变小)、加速度必 变小( 变小)、物体必 加速( 变大).
也即:
- 关于方向, 与 一定异号(方向相反). 与它们的正负没有必然联系.
- 关于变化趋势,, 一定是一个趋势, 一定是另一个趋势.
记住这个结论有助于做选择时更快得到答案,它们的背后原因已经在上面解释.
, 的最值点:
- 、 处:速度 取到最小值 ;加速度 取到最大值.
- 处:速度 取到最大值;加速度 取到最小值 .
再考虑 ,,,:
- 的变化趋势、最值点与 一致.
- 的变化趋势、最值点与 一致.
- 的变化趋势、最值点与 相反(最值点相反的含义是: 的最大值点为 的最小值点, 的最小值点同理).
- 水平弹簧振子中,.
- 竖直弹簧振子中, 与其它物理量无必然联系.
- 取到最小值 的点为 .
- 取到最大值的点在 .注意,竖直弹簧振子中,点 处弹性势能取不到最大值(想一想为什么?).
(多选)如图所示,一小球在弹簧上方 点由静止释放,初始时 点位置弹簧处于原长状态,小球下落的最低点记为 点,此后小球在 之间做往复运动.关于小球的运动分析,下列说法错误的是:
- A. 弹簧处于原长时,小球的速度最大
- B. 小球从 到 的运动过程中,弹簧做功为
- C. 小球的速度增大 时,加速度一定减小
- D. 小球向平衡位置移动时,弹性势能一定减小
此题中,,而 点没有画出,它应当在 的中点(至于为什么恰好是中点,学到后面会有答案).
在竖直弹簧振子中,对 与 的区分是必要的.
A. 是速度最小值为 的点,速度最大值点应为 .A 错误.
B. 点 与点 的弹性势能不等.两个角度:
- 到 弹簧从压缩状态到原长,弹性势能减小为 ,弹性势能一定做正功.
- 到 是一个弹性势能转化为重力势能的过程(端点动能均为 ,不变).
因此弹簧做功不可能为 ,B 错误.
C. 与 变化趋势一定相反.C 正确.
D. 竖直弹簧振子中, 与 无必然联系.事实上,从 向 的过程中,小球向平衡位置移动,弹性势能增大.D 错误.
故选 ABD.
如果将题目改为水平弹簧振子,则四个选项均正确.
如图所示,在光滑地面上,一弹簧左端固定在墙壁上,右端连接一个物体,点 为弹簧为原长时物体的位置.现对物体施加一外力,压缩弹簧,使物体在 点保持平衡,现撤去外力,物体在 之间做往复运动.关于物体运动的分析,下列说法正确的是:
- A. 物体的位移方向总指向平衡位置
- B. 加速度方向总与位移方向相反
- C. 位移方向总与速度方向相反
- D. 速度方向总与位移方向相同
A. 物体的位移方向应该总是背离平衡位置.A 错误.
B. 与 符号相反.B 正确.
C、D. 的符号与其它物理量不构成必然联系.C、D 均错误.
故选 B.