能量
现在有一些力对一个速度为 v 0 v_0 v 0 的物体做了总功 W W W ,使得物体的速度变为 v v v ,求 W W W 的大小.
我们简化问题,考虑这些力的合力是一个恒力 F F F ,且 F F F 与 v 0 v_0 v 0 共线同向的情形.此时物体做变速直线运动.设物体位移为 x x x ,我们有
{ W = F x F = m a v 2 − v 0 2 = 2 a x \begin{cases}
W = Fx \\
F = ma \\
{v}^2 - {v_0}^2 = 2ax
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ W = F x F = ma v 2 − v 0 2 = 2 a x
可得
W = 1 2 m v 2 − 1 2 m v 0 2 W = \dfrac{1}{2}m{v}^2 -\dfrac{1}{2}m{v_0}^2 W = 2 1 m v 2 − 2 1 m v 0 2
事实上,上面这个结论也适用于 F F F 不是恒力,或者 F F F 是恒力但与 v 0 v_0 v 0 不共线的情形.严格证明需要定积分知识,这里不作展开.
定义质量为 m m m ,速度为 v v v 的物体的 动能 为 1 2 m v 2 \dfrac 1 2 mv^2 2 1 m v 2 ,其符号为 E k E_{\mathrm k} E k (kinetic energy).那么,设物体的初动能为 E k 初 E_{\mathrm k初} E k 初 ,末动能为 E k 末 E_{\mathrm k末} E k 末 ,则有
W = E k 末 − E k 初 = Δ E k W = E_{\mathrm k末} - E_{\mathrm k初} = \Delta E_{\mathrm k} W = E k 末 − E k 初 = Δ E k
合外力对物体的做功等于物体动能的变化量.这条结论被称作 动能定理 .
这里的 W W W 应该是物体所受合外力做功,或者说物体所受所有力的做功之和(显然,两种表述等价 ).总之,如果物体受到两个力作用并且都做了功,千万不要只代入一个力的做功列动能定理!
另外有一个很显然易见的结论:系统内所有物体的动能之和的变化量,等于系统内所有物体的动能变化量之和.
动能的大小和速度有关,速度又和参考系有关,因此动能和参考系也有关.
注意到动能定理的正确性依赖牛顿第二定律,因此动能定理只能在 惯性参考系 或 经过惯性力修正的非惯性参考系 中使用(即惯性力也应该考虑在合外力中).
考虑一辆以 v 车 = 100 m / s v_车 = \pu{100 m/s} v 车 = 100 m / s 的速度匀速运行的火车上,一个人以 1 N \pu{1N} 1 N 的力 F F F 推动原先静止的,质量为 m = 2 k g m = \pu{2kg} m = 2 kg 的箱子,使得箱子加速运动到 v = 1 m / s v = \pu{1 m/s} v = 1 m / s ,火车地面光滑.
火车参考系上,箱子的动能变化量 Δ E k = 1 2 m v 2 = 1 J \Delta E_{\mathrm k} = \dfrac 1 2 m v^2 = \pu{1J} Δ E k = 2 1 m v 2 = 1 J .
地面参考系上,箱子的动能变化量为 Δ E k ′ = 1 2 m ( v + v 车 ) 2 − 1 2 m v 车 2 = 201 J \Delta {E_{\mathrm k}}' = \dfrac 1 2 m (v + v_车)^2 - \dfrac 1 2 m {v_车}^2 = \pu{201J} Δ E k ′ = 2 1 m ( v + v 车 ) 2 − 2 1 m v 车 2 = 201 J .
那动能定理还成立吗?答案是肯定的.
火车参考系上,F F F 做功为 W = F x = F v 2 2 a = 1 2 m v 2 = 1 J W = Fx = F\dfrac{v^2}{2a} = \dfrac 1 2 mv^2 = \pu{1J} W = F x = F 2 a v 2 = 2 1 m v 2 = 1 J .
地面参 考系上,F F F 做功 W ′ = F x ′ = F ( v + v 车 ) 2 − v 车 2 2 a = 1 2 m ( v + v 车 ) 2 − 1 2 m v 车 2 = 201 J W' = Fx' = F\dfrac{(v + v_车)^2 - {v_车}^2}{2a} = \dfrac 1 2 m (v + v_车)^2 - \dfrac 1 2 m {v_车}^2 = \pu{201J} W ′ = F x ′ = F 2 a ( v + v 车 ) 2 − v 车 2 = 2 1 m ( v + v 车 ) 2 − 2 1 m v 车 2 = 201 J .
可以看到,不同的参考系上,动能变化量和功都改变了,而且在同一参考系下,动能变化量和功是相等的,动能定理始终成立.
下面我们默认参考系为实验室参考系.
一个基本事实:自然界只有四大基本力,而高中需要研究的只有其中的两种长距离作用力:万有引力 和 电磁力 .也即,高中阶段可以认为,一切力的本质都是这两个力.
弹力:本质是物体相互靠的很近时,接触面之间微观粒子的电磁力的总效果.至于拉力,压力,本质都是弹力.
摩擦力:本质也是物体相互摩擦时,接触面之间微观粒子的电磁力的总效果.
万有引力和电磁力都是 保守力 .保守力有一个非常强的特性(也是它的定义):一对相互作用保守力做功之和只与 两个物体运动路径的始终点 有关,与 两个路径的具体形态 无关.
至于万有引力和电磁力与路径具体形态无关这一点怎么证明,也不是高中能研究的范围,省略.
现假设:
有一个 n n n 个质点的,与外界没有物质交换(封闭性 )的系统.
这 n n n 个质点相互有作用力,均为保守力.
我们将 n n n 个质点当作一整个系统研究,则这 n n n 个质点相互之间的保守力就是系统的内力.我们称这样的系统为 保守系统 .
力的作用是相互的,保守系统的内力一定可以拆成若干对保守力.因此,保守系统的内力做功之和等于若干对保守力做功之和,而一对保守力做功之和只是两个物体运动始终点的函数,所以 保守系统的内力做功之和只与 n \boldsymbol n n 个质点运动的始终点有关 .
定义「状态」为一个 n n n 元组 A = \left(\overrightarrow{p_1}, \overrightarrow{p_2}, \ldots, \overrightarrow{p_n}\right) ,其中 p i → \overrightarrow{p_i} p i 为三元有序点对(表达为三维向量).我们称保守系统处于状态 A A A ,当且仅当第 i i i 个质点位于位置 p i → \overrightarrow{p_i} p i .不难发现,状态只与 n \boldsymbol n n 个物体的位置有关 .
根据上面的结论,给定两个「状态」A A A 和 B B B ,则保守系统从状态 A A A 到状态 B B B 的过程中,内力做功之和是确定的,不妨将该内力做功之和表达为函数 g ( A ⇝ B ) g(A \rightsquigarrow B) g ( A ⇝ B ) .很明显,g g g 的量纲与功、能相同.
设 A A A ,B B B ,C C C 为三个状态,下面是一些结论:
若 g ( A ⇝ B ) = W 1 g(A \rightsquigarrow B) = W_1 g ( A ⇝ B ) = W 1 ,g ( B ⇝ C ) = W 2 g(B \rightsquigarrow C) = W_2 g ( B ⇝ C ) = W 2 ,则 g ( A ⇝ C ) = W 1 + W 2 g(A \rightsquigarrow C) = W_1 + W_2 g ( A ⇝ C ) = W 1 + W 2 .原因是前者 A ⇝ B ⇝ C A \rightsquigarrow B \rightsquigarrow C A ⇝ B ⇝ C 的途径相当于 A ⇝ C A \rightsquigarrow C A ⇝ C 的一个途径.
g ( A ⇝ A ) = 0 g(A \rightsquigarrow A) = 0 g ( A ⇝ A ) = 0 .原因:g ( A ⇝ A ⇝ B ) = g ( A ⇝ A ) + g ( A ⇝ B ) g(A \rightsquigarrow A \rightsquigarrow B) = g(A \rightsquigarrow A) + g(A \rightsquigarrow B) g ( A ⇝ A ⇝ B ) = g ( A ⇝ A ) + g ( A ⇝ B ) ,同时 g ( A ⇝ A ⇝ B ) = g ( A ⇝ B ) g(A \rightsquigarrow A \rightsquigarrow B) = g(A \rightsquigarrow B) g ( A ⇝ A ⇝ B ) = g ( A ⇝ B ) .
g ( A ⇝ B ) = − g ( B ⇝ A ) g(A \rightsquigarrow B) = -g(B \rightsquigarrow A) g ( A ⇝ B ) = − g ( B ⇝ A ) .原因:g ( A ⇝ B ) + g ( B ⇝ A ) = g ( A ⇝ A ) = 0 g(A \rightsquigarrow B) + g(B \rightsquigarrow A) = g(A \rightsquigarrow A) = 0 g ( A ⇝ B ) + g ( B ⇝ A ) = g ( A ⇝ A ) = 0 .
现钦定一个状态 S S S ,若 g ( A ⇝ S ) = W 1 g(A \rightsquigarrow S) = W_1 g ( A ⇝ S ) = W 1 ,g ( B ⇝ S ) = W 2 g(B \rightsquigarrow S) = W_2 g ( B ⇝ S ) = W 2 ,则 g ( A ⇝ B ) = W 1 − W 2 g(A \rightsquigarrow B) = W_1 - W_2 g ( A ⇝ B ) = W 1 − W 2 .不妨设 f ( A ) = g ( A ⇝ S ) f(A) = g(A \rightsquigarrow S) f ( A ) = g ( A ⇝ S ) ,很明显,f f f 的量纲与功、能相同.上面的 g g g 改写为 f f f 得到:状态 A A A 到状态 B B B 的内力做功之和为 f ( A ) − f ( B ) f(A) - f(B) f ( A ) − f ( B ) .即 保守内力做功之和等于初状态的 f f f 减去末状态的 f f f .
这样以来,我们就在仅与物体位置有关的状态 A A A 上定义了函数 f ( A ) f(A) f ( A ) ;从而将一个状态 A A A 到另一个状态 B B B 的内力做功之和刻画为了函数梯度 f ( A ) − f ( B ) f(A) - f(B) f ( A ) − f ( B ) .我们将系统处于状态 A A A 时,f ( A ) f(A) f ( A ) 的值称作 势能 ,用符号 E p E_{\mathrm p} E p