在实际问题中,除了要考虑事件 A 的概率 P(A) 之外,还要考虑事件 A 在「某事件 B 已经发生」这一附加条件下的概率,这样的概率称为 条件概率,记作 P(A∣B),读作「事件 A 在事件 B 发生的条件下的条件概率」.相应地,将 P(A) 称为无条件概率.严格说来,概率都是有条件的,因为试验都是在一组固定条件下进行的.这里说的条件,无非是指在原有的一组固定条件中再增加一个附加条件:B 发生.
定义 设 A,B 为两个随机事件,且 P(A)>0,我们称
P(B∣A)=P(A)P(AB)
为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的 条件概率.
竖线右侧表示前提条件,左侧表示在该前提条件下所研究的事件,注意不要混淆.
由条件概率的定义可立即得到:对任意两个事件 A 与 B,若 P(A)>0,则
P(AB)=P(A)P(B∣A).
我们称上式为概率的 乘法公式,也叫 乘法定理.
TO DO: 此处应有事例.
一般地,设一组事件 A1,A2,…,An 两两互斥,满足 A1∪A2∪⋯∪An=Ω,且 P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则对任意事件 B⊆Ω,有
P(B)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai).
称上面的公式为 全概率公式.