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电表改装

单量程电表基本原理

在初中我们已经学习了电流表和电压表的使用.高中阶段我们将学习这两种表的基本原理.先从它们的本质:表头开始.

表头

表头 是可以测量流经它的电流强度,并显示在仪表盘上的电学仪器,用符号 GG 表示,电路图中用「G\textcircled{\scriptsize{G}}」表示.电流强度越大,指针偏转角度越大,示数越大.

表头具有以下特点:

  • 表头可以认为是量程很小的电流表,可测量电路中的小电流.
  • 表头的内阻用 RgR_{\mathrm g} 表示,通常为几十欧到几千欧.
  • 满偏电流用 IgI_{\mathrm g} 表示.通常为几毫安,单位为 μA\pu{\mu A}mA\pu{mA}
  • 满偏电压(两端可施加最大电压) Ug=IgRgU_{\mathrm g} = I_{\mathrm g}R_{\mathrm g}
表头可以视作纯电阻电路

虽然存在「电磁效应」使表头指针转动,但这种转动发生在电路未稳定时.电路稳定后,指针停止转动且示数无变化,不存在「电磁效应」,此时可以视作纯电阻电路.

利用表头和电阻的串并联,我们可以组装出合适量程的电流表和电压表.

电流表基本原理

表头的量程通常为几毫安,远小于我们需要的 0.6 A\pu{0.6A}3 A\pu{3A},因此不能直接用作常用量程电流表.

现在假设有一个 恒流电源(不同于通常的恒压电源),恒定地输出电流 II,将表头接入恒流电源. 若此时 IIgI \gg I_{\mathrm g},如何让流经表头的电流正好为 IgI_{\mathrm g}

注意到 并联分流,因此可以考虑在的基础上,在表头两端 并联 一个电阻 R0R_0

示例图

这样一来,II 就会分成两个电流:一个流经表头,电流为 IgI_{\mathrm g};一个流经 R0R_0,电流为 I0=IIgI_0 = I - I_{\mathrm g}.根据并联分流定律可以得出:

R0=RgIgIIgR_0 = R_{\mathrm g} \cdot \dfrac{I_{\mathrm g}}{I - I_{\mathrm g}}

II 通常是 IgI_{\mathrm g} 的几百倍到几千倍,因此 R0R_0 通常为 RgR_{\mathrm g} 的几百分之一到几千分之一.RgR_{\mathrm g} 通常为几十欧到几千欧,可以得出 R0R_0 是很小的.

现在考虑将恒流电源的输出电流调到任意的 I(0,I]I' \in (0, I].此时经过表头的电流 Ig{I_{\mathrm g}}'

Ig=IR0R0+Rg{I_{\mathrm g}}' = I' \cdot \dfrac{R_0}{R_0 + R_{\mathrm g}}

I=II' = I 时,上式为

Ig=IR0R0+RgI_{\mathrm g} = I \cdot \dfrac{R_0}{R_0 + R_{\mathrm g}}

对两式作比可得

IgIg=II\dfrac{{I_{\mathrm g}}'}{I_{\mathrm g}} = \dfrac{I'}{I}

因此,只要表头的指针旋转角与通过电流成正比,那么表头的指针旋转角也与稳流电源的电流成正比.在表头上均匀标出 0I0 \sim I 的刻度,我们就制成了一个量程为 II 的电流表,它的内容是 R0R_0 和表头并联的等效用电器.

设该电流表的电阻是 RAR_{\mathrm A},有 RA<R0R_{\mathrm A} < R_0,因此 制成的电流表电阻很小

我们将此时的电路整体串联在某个电路的某条待测导线中.因为电阻很小,近似于一根导线串联在导线中,所以电路各处电流和电压的性质基本不变,通过电流表的电流等效稳流电源的供流,因此电流表可以成功测出电流.

不过,有时题目也会考虑 RAR_{\mathrm A} 对电路中电流的影响,后面我们会看到这样的例子.

电压表基本原理

虽然表头是测量电流的,由于 RgR_{\mathrm g} 是定值,因此表头两端电压与经过表头的电流在数学上成正比,即 UgIg{U_{\mathrm g}}' \propto {I_{\mathrm g}}'(这里用撇是为了与量程 IgI_{\mathrm g} 和最大电压 UgU_{\mathrm g} 区分),因此我们可以根据表头的示数推出表头两端电压的大小.

现在假设有一个 恒压电源,恒定地输出 UU 的电压.若此时 UUgU \gg U_{\mathrm g},如何让流经表头的电流正好为 UgU_{\mathrm g}

注意到 串联分压,因此可以考虑在表头接入恒压电源的基础上,在表头一侧 串联 一个电阻 R0R_0

示例图

这样一来,UU 就会分成两部分电压:表头两端电压为 UgU_{\mathrm g}R0R_0 两端电压为 U0=UUgU_0 = U - U_{\mathrm g}.根据串联分压定律可以得出 R0R_0 的大小应为

R0=RgUUgUgR_0 = R_{\mathrm g} \cdot \dfrac{U - U_{\mathrm g}}{U_{\mathrm g}}

UU 通常是 UgU_{\mathrm g} 的十倍左右,因此 R0R_0 通常为 RgR_{\mathrm g} 的十倍左右,可以看出 R0R_0 较大.

现在考虑将恒压电源的输出电压调到任意的 U(0,U]U' \in (0, U].此时表头两端电压 Ug{U_{\mathrm g}}'

Ug=URgR0+Rg{U_{\mathrm g}}' = U' \cdot \dfrac{R_{\mathrm g}}{R_0 + R_{\mathrm g}}

U=UU' = U 时,上式为

Ug=URgR0+RgU_{\mathrm g} = U \cdot \dfrac{R_{\mathrm g}}{R_0 + R_{\mathrm g}}

对两式作比可得

UgUg=UU\dfrac{{U_{\mathrm g}}'}{U_{\mathrm g}} = \dfrac{U'}{U}

因此,只要表头的指针旋转角与两端电压成正比,那么表头的指针旋转角也与稳压电源的输出电压成正比.在表头上均匀标出 0U0 \sim U 的刻度,我们就制成了一个量程为 UU 的电压表,它的内容是 R0R_0 和表头串联的等效用电器.

设该电流表的电阻是 RVR_{\mathrm V},有 RV>R0R_{\mathrm V} > R_0,因此 制成的电压表电阻较大

我们将此时的电路的两端接在电路任意两点.因为电阻较大,近似于一根中间断开的导线连接了电路的两个点,所以电路各处电流和电压的性质基本不变,电压表两端电压等效于稳压电源供压,于是可以用电压表测量电路中任意两节点的电势差(不一定像初中一样一定非要并联在一个用电器两边).

有时题目也会考虑 RVR_{\mathrm V} 对电路中电流的影响,后面我们会看到这样的例子.