能量

能量基础

动能的定义与动能定理

现在有一些力对一个速度为 $v_0$ 的物体做了总功 $W$，使得物体的速度变为 $v$，求 $W$ 的大小．

我们简化问题，考虑这些力的合力是一个恒力 $F$，且 $F$ 与 $v_0$ 共线同向的情形．此时物体做变速直线运动．设物体位移为 $x$，我们有

$$\begin{cases} W = Fx \\ F = ma \\ {v}^2 - {v_0}^2 = 2ax \end{cases}$$

可得

$$W = \dfrac{1}{2}m{v}^2 -\dfrac{1}{2}m{v_0}^2$$

事实上，上面这个结论也适用于 $F$ 不是恒力，或者 $F$ 是恒力但与 $v_0$ 不共线的情形．严格证明需要定积分知识，这里不作展开．

定义质量为 $m$，速度为 $v$ 的物体的 动能 为 $\dfrac 1 2 mv^2$，其符号为 $E_{\mathrm k}$（kinetic energy）．那么，设物体的初动能为 $E_{\mathrm k初}$，末动能为 $E_{\mathrm k末}$，则有

$$W = E_{\mathrm k末} - E_{\mathrm k初} = \Delta E_{\mathrm k}$$

合外力对物体的做功等于物体动能的变化量．这条结论被称作 动能定理．

$W$ 应为合外力做功

这里的 $W$ 应该是物体所受合外力做功，或者说物体所受所有力的做功之和（显然，两种表述等价）．总之，如果物体受到两个力作用并且都做了功，千万不要只代入一个力的做功列动能定理！

另外有一个很显然易见的结论：系统内所有物体的动能之和的变化量，等于系统内所有物体的动能变化量之和．

动能与参考系

动能的大小和速度有关，速度又和参考系有关，因此动能和参考系也有关．

注意到动能定理的正确性依赖牛顿第二定律，因此动能定理只能在 惯性参考系 或 经过惯性力修正的非惯性参考系 中使用（即惯性力也应该考虑在合外力中）．

考虑一辆以 $v_车 = \pu{100 m/s}$ 的速度匀速运行的火车上，一个人以 $\pu{1N}$ 的力 $F$ 推动原先静止的，质量为 $m = \pu{2kg}$ 的箱子，使得箱子加速运动到 $v = \pu{1 m/s}$，火车地面光滑．

• 火车参考系上，箱子的动能变化量 $\Delta E_{\mathrm k} = \dfrac 1 2 m v^2 = \pu{1J}$．
• 地面参考系上，箱子的动能变化量为 $\Delta {E_{\mathrm k}}' = \dfrac 1 2 m (v + v_车)^2 - \dfrac 1 2 m {v_车}^2 = \pu{201J}$．

那动能定理还成立吗？答案是肯定的．

• 火车参考系上，$F$ 做功为 $W = Fx = F\dfrac{v^2}{2a} = \dfrac 1 2 mv^2 = \pu{1J}$．
• 地面参考系上，$F$ 做功 $W' = Fx' = F\dfrac{(v + v_车)^2 - {v_车}^2}{2a} = \dfrac 1 2 m (v + v_车)^2 - \dfrac 1 2 m {v_车}^2 = \pu{201J}$．

可以看到，不同的参考系上，动能变化量和功都改变了，而且在同一参考系下，动能变化量和功是相等的，动能定理始终成立．

势能的定义

下面我们默认参考系为实验室参考系．

一个基本事实：自然界只有四大基本力，而高中需要研究的只有其中的两种长距离作用力：万有引力 和 电磁力．也即，高中阶段可以认为，一切力的本质都是这两个力．

• 弹力：本质是物体相互靠的很近时，接触面之间微观粒子的电磁力的总效果．至于拉力，压力，本质都是弹力．
• 摩擦力：本质也是物体相互摩擦时，接触面之间微观粒子的电磁力的总效果．

万有引力和电磁力都是 保守力．保守力有一个非常强的特性（也是它的定义）：一对相互作用保守力做功之和只与 两个物体运动路径的始终点 有关，与 两个路径的具体形态 无关．

至于万有引力和电磁力与路径具体形态无关这一点怎么证明，也不是高中能研究的范围，省略．

现假设：

• 有一个 $n$ 个质点的，与外界没有物质交换（封闭性）的系统．
• 这 $n$ 个质点相互有作用力，均为保守力．

我们将 $n$ 个质点当作一整个系统研究，则这 $n$ 个质点相互之间的保守力就是系统的内力．我们称这样的系统为 保守系统．

力的作用是相互的，保守系统的内力一定可以拆成若干对保守力．因此，保守系统的内力做功之和等于若干对保守力做功之和，而一对保守力做功之和只是两个物体运动始终点的函数，所以 保守系统的内力做功之和只与 $\boldsymbol n$ 个质点运动的始终点有关．

定义「状态」为一个 $n$ 元组 A = \left(\overrightarrow{p_1}, \overrightarrow{p_2}, \ldots, \overrightarrow{p_n}\right)，其中 $\overrightarrow{p_i}$ 为三元有序点对（表达为三维向量）．我们称保守系统处于状态 $A$，当且仅当第 $i$ 个质点位于位置 $\overrightarrow{p_i}$．不难发现，状态只与 $\boldsymbol n$ 个物体的位置有关．

根据上面的结论，给定两个「状态」$A$ 和 $B$，则保守系统从状态 $A$ 到状态 $B$ 的过程中，内力做功之和是确定的，不妨将该内力做功之和表达为函数 $g(A \rightsquigarrow B)$．很明显，$g$ 的量纲与功、能相同．

设 $A$，$B$，$C$ 为三个状态，下面是一些结论：

• 若 $g(A \rightsquigarrow B) = W_1$，$g(B \rightsquigarrow C) = W_2$，则 $g(A \rightsquigarrow C) = W_1 + W_2$．原因是前者 $A \rightsquigarrow B \rightsquigarrow C$ 的途径相当于 $A \rightsquigarrow C$ 的一个途径．
• $g(A \rightsquigarrow A) = 0$．原因：$g(A \rightsquigarrow A \rightsquigarrow B) = g(A \rightsquigarrow A) + g(A \rightsquigarrow B)$，同时 $g(A \rightsquigarrow A \rightsquigarrow B) = g(A \rightsquigarrow B)$．
• $g(A \rightsquigarrow B) = -g(B \rightsquigarrow A)$．原因：$g(A \rightsquigarrow B) + g(B \rightsquigarrow A) = g(A \rightsquigarrow A) = 0$．

现钦定一个状态 $S$，若 $g(A \rightsquigarrow S) = W_1$，$g(B \rightsquigarrow S) = W_2$，则 $g(A \rightsquigarrow B) = W_1 - W_2$．不妨设 $f(A) = g(A \rightsquigarrow S)$，很明显，$f$ 的量纲与功、能相同．上面的 $g$ 改写为 $f$ 得到：状态 $A$ 到状态 $B$ 的内力做功之和为 $f(A) - f(B)$．即 保守内力做功之和等于初状态的 $f$ 减去末状态的 $f$．

这样以来，我们就在仅与物体位置有关的状态 $A$ 上定义了函数 $f(A)$；从而将一个状态 $A$ 到另一个状态 $B$ 的内力做功之和刻画为了函数梯度 $f(A) - f(B)$．我们将系统处于状态 $A$ 时，$f(A)$ 的值称作 势能，用符号 $E_{\mathrm p}$ 表达（p 为 potential）．

势能这个定义终于来了，重新梳理一遍：

首先 势能是定义在一个系统而不是一个物体上的，可以看出只有单一物体的系统势能应该为 $0$（因为根本没有保守内力）．势能 $E_{\mathrm p}$ 是一个只与系统内所有物体位置有关的函数．

对于同一个状态 $C$，如果 $f(A) > f(B)$，则 $f(A) - f(C) > f(B) - f(C)$，即 $g(A \rightsquigarrow C) > g(B \rightsquigarrow C)$．也就是说，相比从 $B$ 出发到 $C$ 状态，系统从势能更大的 $A$ 状态到同样的终点 $C$ 状态时，保守内力的做功更多．

因此，势能的「势」之处，在于它刻画了 $n$ 个物体在某个位置时，给保守力做功「机会」的「本领」大小．势能越大，就能给更多让保守力做功的机会．

根据定义，我们有

$$W_{保总} = E_{\mathrm p初} - E_{\mathrm p末} = -\Delta E_{\mathrm p}$$

请注意这里的负号．可以理解为，$E_{\mathrm p}$ 是保守力做功的本领，而这里就相当于用掉一部分本领转成实际的做功，因此实际做功是本领的 减少量，应该用 $-\Delta$ 的形式．

而动能定理中，外力做功转化为物体的动能，因此实际做功是物体动能的 增加量，应该用 $+\Delta$ 的形式．

$\Delta$ 为一个变化过程的 增加量，$-\Delta$ 为一个变化过程的 减少量，建议牢记．

上面对 $f$ 的定义用到了一个辅助状态 $S$．因为 $f(A) = g(A \rightsquigarrow S)$，不难发现 $f(S) = 0$．因此，辅助状态 $S$ 又叫 零势能位置，它是用来辅助定义势能的，虽然 $f(A)$ 的大小与 $S$ 有关，但 $f(A) - f(B)$ 的大小与 $S$ 一定无关，这是保守力做功性质的必然结果．零势能可以任意选取，而不影响上面任意一个式子的正确性．

那么零势能位置 $S$ 通常取什么呢？不妨令 $S$ 中的 $n$ 个物体 两两距离趋近于无限远，此时每对保守内力（万有引力和电磁力）的大小均无限趋近于零．可以证明，对于物体均两两趋于无限远的两个状态 $S$ 和 $T$，有 $f(S) = f(T)$．因此，我们通常规定两两趋于无限远的状态 $S$ 为 零势能位置．

当然，零势能位置是任意选取的，因此不按这个选取也没有任何问题．后面我们就会见到另一种选取方式．

最后说一下参考系的事情．在一对相互作用力做功之和中我们了解到，一对相互作用力做功之和与参考系无关．这是一对相互作用力做功之和的必然结果，与保守性无关．最开始对参考系的钦定仅为避免无必要的疑惑和讨论．

机械能守恒定律

还是上面那个系统，现在考虑对每个质点列动能定理和势能变化的表达式．

先声明若干物理量：$n$ 个点的初始速度分别为 $u_i$，末速度分别为 $v_i$，起始点分别为 $\overrightarrow{a_i}$，终止点分别为 $\overrightarrow{b_i}$．第 $i$ 个质点所受保守力对其做功 $W_i$，所受外力做功 $W_{i外}$．

动能定理：

$$W_i + W_{i外} = \dfrac{1}{2}m{v_i}^2 - \dfrac{1}{2}m{u_i}^2 = \Delta E_{\mathrm ki}$$

求和：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n W_i + W_{i外} &= \sum_{i=1}^n \Delta E_{\mathrm ki}\\ W_{保总} + W_{外总} &= \Delta E_{\mathrm k总} \end{aligned}$$

又根据势能的定义：

$$W_{保总} = -\Delta E_{\mathrm p}$$

我们有

$$\Delta E_{\mathrm k总} + \Delta E_{\mathrm p} = W_{外总}$$

我们定义一个系统的 机械能 为「系统内所有物体动能之和」与「系统势能」的总和，即

$$E_机 = E_{\mathrm k总} + E_{\mathrm p}$$

则上述结论等价于

$$\Delta E_机 = W_{外总}$$

也即，对一个 封闭保守系统（封闭意为与外界无物质交换），外力对其总做功的大小，等于系统机械能的变化量；对一个 孤立保守系统（孤立意为与外界无物质交换也无能量交换），系统 机械能守恒．这就是 机械能守恒定律．

注：机械能是守恒量（conservant）而不是不变量 / 常量（invariant = constant）．考虑一个系统的机械能在不同的惯性参考系中，值可能不同（动能可能不同，势能一定相同，总和可能不同）．机械能守恒的意思是在同一参考系下不变．

内能的定义，非保守力与能量守恒定律

一切力都是保守力吗？答案是否定的．一对相互作用的滑动摩擦力显然是非保守力：一个物体在粗糙地面上左滑 $\pu{5m}$ 右滑 $\pu{5m}$，和左滑 $\pu{10m}$ 右滑 $\pu{10m}$，对比两个过程，路径不同，但起点与终点均对应相同，如果滑动摩擦保守，两者摩擦做功应该相同，但实际上是后者摩擦做功更多．

我们知道，四大基本力都是保守力，而且保守力的合力也应当是保守力，那么为什么会出现非保守力呢？答案是：在宏观的角度上，当我们选用「力」讨论问题时，忽略了微观粒子之间的相互作用．

宏观意义上的单个物体并不是单个粒子，而是很多微观粒子构成的系统．这些微观粒子也在做永不停息的无规则运动，具有动能；之间也有相互作用力（如电磁力）的作用，因此也具有势能．物理习惯上将任何形式的微观粒子统称为分子（这和化学上范围更小的分子的概念不同）．这些分子 相对于物体质心 形成的动能之和称作该物体的 分子动能；这些分子构成的系统的势能称作该物体的 分子势能；物体的分子动能和分子势能之和称作该物体的 内能；一个系统中所有物体的内能之和称作这个 系统的内能．

先前我们提到过：

弹力：本质是物体相互靠的很近时，接触面之间微观粒子的电磁力的总效果．至于拉力，压力，本质都是弹力．

摩擦力：本质也是物体相互摩擦时，接触面之间微观粒子的电磁力的总效果．

事实上这个表述不准确．更准确的说法是：

弹力：本质是物体相互靠的很近时，接触面之间微观粒子的电磁力的总效果中的 一部分或全部．

摩擦力：本质也是物体相互摩擦时，接触面之间微观粒子的电磁力的总效果中的 一部分或全部．

一个物体受到滑动摩擦时，这个「摩擦总效果」中的一部分使得整个物体（质心）运动状态发生变化，这一部分效果我们称之为「滑动摩擦力」；还有一部分并没有使得整个物体运动状态改变，而只是改变了物体中的一些分子（主要是摩擦面上的）相对于物体质心运动的速率，这一部分效果在牛顿力学中直接忽略掉了．

这样忽略的结果是，「滑动摩擦力」很好地描述了「摩擦对运动状态改变的效果」，但也同时直接丢失了「滑动摩擦对物体表面微观粒子的作用效果」．这部分效果相当于被「耗散」了，因此「摩擦力」又称「耗散力」．这种力的耗散效果使得最终的能量不再保守．

上面讨论了 滑动摩擦 的非保守性．同理，弹力在 非弹性碰撞 中也存在类似的耗散，因此也不是保守力．

不过，需要注意的是，静摩擦 具有保守性，而且 一对静摩擦做功恒为零（因为相对运动路径始终点相同）；在 弹性碰撞 或者 轻质弹簧 中，弹力也无耗散作用，是保守力．

「非保守力」与「耗散力」可以划等号吗？

笔者认为是的．

非保守力的出现，归根结底是我们将同一个物体中若干个运动状态不一致的粒子，整体当成一个系统进行研究，在分析受力时只考虑质心运动的结果．如果我们将整个世界拆成一个个微观粒子暴力分析，也就没有内能什么事了，得益于大自然将基本力设计成保守的，动能和势能就是守恒的．

这也就是费曼提到的：

在最好的模型下，总存在那么一个系统，其中的所有力都是保守力，能量仅仅依靠于所有物质的相对位置．

非保守力做功之和与路径有关．高中阶段不加证明地给出：一对非保守力做功之和的相反数 以 热量 的形式转移到 系统的内能 中，即

$$\Delta U = Q = -(W_{f} + W_{f'})$$

之前我们讨论过：一对滑动摩擦做功之和为与参考系无关的恒负值，因此这里的 $Q$ 是与参考系无关的恒正值，也很符合我们摩擦生热的想象．

对于封闭非保守系统，保守力做功增加多少动能，系统的势能就会对应减去多少；非保守力做功增加多少动能，系统的总内能就会对应减去多少，这样以来就仍然有

$$\Delta E_{\mathrm k总} + \Delta E_{\mathrm p} + \Delta U = W_{外总} + Q$$

这里的 $Q$ 代表系统的吸热，它只能贡献内能项，而无法贡献势能项与动能项，因此机械能守恒定律不必考虑系统与外界的热量交换．

我们称系统内所有物体的动能和、系统的势能、系统的内能的总和为 能量，就得到了一个更普适、更广泛、更基本的一条定律：能量守恒定律：对一个孤立系统，能量守恒．

热力学中对能量守恒定律的表达

热力学中，能量守恒定律 作为 热力学第一定律 出现，表达式为

$$\Delta U = Q + W$$

在热力学中，我们将一个系统内的所有粒子全部暴力拆解分析，并将这个系统内所有粒子的动能，以及系统的势能之和称作内能．热力学并不像宏观牛顿力学那样研究宏观物体的运动，因此 $E_{\mathrm k}$ 和 $E_{\mathrm p}$ 没必要，也无意义表出．

其它形式的能量

系统本身的能量分类后可以认为只有三种：

• 动能：与物体的运动有关．
• 势能：与物体的受力有关．
• 内能：与物体的微观形态有关．

还有一些其它名字的能量，可以看作是这三种能量的不同分类形式：

• 化学能 并不是一个很严格精确的定义，大概被定义为「与化学有关的能量」，「有关」这个词就比较模糊了．物体内含有的化学键能可以说是化学能，一个化学反应产生的能量交换也可以说是化学能．通常来讲化学能产生的本质来自于物体的内能．
• 电能 指的是电场力做功时转移的能量，即电势能．
• 光能 指的是光子蕴含的能量．
• 核能 指的是核反应产生的能量，本质来源于原子核内部作用力的势能．

势能的简化与分类

我们知道，势能是对一个系统说的．然而我们更经常看见的表述是：「物体的动能转化为重力势能」．物体的重力势能该如何理解呢？

能量转化常见问题

提着箱子不动为什么会觉得累？

提着箱子一直不动，坚持很长时间，为什么会觉得累？明明一直对箱子不做功？

解答

因为人不是一个内部结构可以忽略的物体．

提着箱子不动的过程中，人体内的肌肉在重复以下步骤：

• 消耗 ATP，使得肌球蛋白沿机动蛋白纤维向上滑动．
• 肌球蛋白因重物的质量而滑落．
• 继续消耗 ATP，向上滑动，又因为重物，向下滑落．

虽然人不直接对物体做功，但是骨骼肌细胞中的化学反应需要能量、人体大量的发热也消耗能量．

多余的化学能？

下面是动能与参考系一节中的情境：

考虑一辆以 $v_车 = \pu{100 m/s}$ 的速度匀速运行的火车上，一个人以 $\pu{1N}$ 的力 $F$ 推动原先静止的，质量为 $m = \pu{2kg}$ 的箱子，使得箱子加速运动到 $v = \pu{1 m/s}$，火车地面光滑．

• 火车参考系上，箱子的动能变化量 $\Delta E_{\mathrm k} = \dfrac 1 2 m v^2 = \pu{1J}$．
• 地面参考系上，箱子的动能变化量为 $\Delta {E_{\mathrm k}}' = \dfrac 1 2 m (v + v_车)^2 - \dfrac 1 2 m {v_车}^2 = \pu{201J}$．

人推动箱子时，火车参考系上人的化学能似乎做功了 $\pu{1J}$，但地面参考系上人的化学能似乎做功了 $\pu{201 J}$．同一个人推动物体，在不同参考系上耗费化学能看似不同甚至相差如此巨大，但化学能怎么可能随参考系改变而改变？这么多多余的能量是哪来的？

解答

首先，这个问题本身其实是复杂而模糊的：人在施力的时候人本身根本不能看作质点；再如人的化学能机理是复杂的，比如化学能只有一部分参与实际做功．我们可以作这样的简化：

两个物体 $A$（人）和 $B$（箱子），车无摩擦，$A$ 和 $B$ 原先靠在一起静止．现在一种神秘能量（对应化学能参与实际做功的一部分）突然给系统注入，使得人和箱子都各自受到一个互相排斥的力 $F_人$ 和 $F_箱$（刻画推力和人受到的推力反作用力），一段时间后箱子对车速度变为 $\pu{1m/s}$．

通过这个简化可以看出：化学能中实际做功的一部分并不是只给箱子做功；也同时给人做功了．也就是说，化学能这个非保守能量因素的存在，允许两个物体之间凭空多出一对相互作用力，但没有允许单个物体受到力而另一个物体不受力（违背牛顿第三定律）．

聪明的读者已经发现内在的奥妙了：一对相互作用力做功之和与参考系的选取无关．

所以本题的答案是：化学能中的一部分在不同参考系下并没有改变，它对应的并不是箱子动能的变化，而是箱子与人动能的总变化．而一对相互作用力做功之和在变换参考系下的情形下不变；事实上，箱子与人的总动能变化量也不变．

如果人脚下的地面变为粗糙的（箱子下地面仍光滑），车对人存在静摩擦，使得人静止不动呢？

• 此时看起来 箱子与人的总动能变化量就是箱子的动能变化量，一定与参考系有关？确实，但人此时多受了一个静摩擦的作用，箱子与人的总动能变化量不再是这对来源于化学能的相互作用力做功之和，还要加上人受到的静摩擦做功．而人受到的静摩擦做功在不同参考系下是会变化的．
• 人的动能变化量恒为 $\boldsymbol 0$，与参考系无关？确实，虽然其受到的斥力与摩擦力做功与参考系都有关，但这是一对平衡力，平衡力做功恒为 $0$，与参考系无关．