立体几何之要点总结及解题方法

空间中的位置关系要点及解题方法

线线平行与线面平行

1. 证明线线平行：

   • 可以利用平面几何知识；
   • 利用空间平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
   • 利用线面平行和面面平行的性质定理：主要用于已知线面平行或面面平行，或证明和交线有关的平行时。

2. 线面平行的判定定理：

   文字表示：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行 ，那么这条直线与这个平面平行。

   符号表示：如果 $l\not\subset \alpha,m\subset \alpha,l\parallel m$，则 $l\parallel \alpha$。

3. 线面平行的性质定理：

   文字表示：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行。

   符号表示：如果 $l \parallel \alpha,l\subset\beta,\alpha \cap\beta=m$，则 $l\parallel m$。

   作用：已知线面平行可以求出线线平行：找平面，得交线，出平行。

4. 证明线面平行一般有两种策略：

   【1 转化为线线平行】

   技巧：

   1. 题目中出现了中点，可以考虑使用中位线证明平行直线；若题目中没有现成的中位线，可以想办法构造中位线。

   2. 构造中位线的方法：先找到目标线段，再找到中点所在线段，若两线段在一个三角形内即可构造三角形。

   3. 当目标线段的两个端点本身是中点，且中点所在的两个线段不构成三角形，或中点线段与目标线段不能构成三角形，可以采用以下几种方法：

      • 通过中位线构造面面平行，即，通过目标线段构造一个平面，使得这个平面与已知平面平行。

        一般情况下，可以选择另一个立体几何体上一条边的中点作为构造平面的一个点，与目标线段的两个端点构成一个平面（三点确定一个平面）。

        注意：选择中点时，需要尽量让其与其它条件产生联系。

        找构造平面的第三个点可以观察目标平面上关键边/点的关系，比如他们都在一个三角形中。

        构造平面后，就转化为面面平行证明即可。

      • 改变中点线段的方法，即，将其中一个端点转化成另一个线段的中点，并且这个线段与另一个中点所在线段可以构成三角形。

        一般被转化的那个端点往往处在某个特定的平行四边形或特殊图形中。

      • 通过平移构造平行四边形，即同下 4 5。

      • 通过中位线构造平行直线，一般有可能需要延长直线，较为复杂，不太实用。

   4. 当题目中没有中点，但出现了定比分点时，可以用构造相似三角形的方法证明。

   5. 解决线面平行的另一个方法是平移目标线段，可以将目标线段沿着同一个向量平移到平面上，平移后的两条直线是平行直线，从而证明线面平行。

   6. 平移目标线段时，一般选择沿着几何图形平移。对于需要建系时，尽量按照坐标系平移。

   7. 一个动点到一个平面的距离保持不变，当且仅当这个动点的运动轨迹与平面平行。

   【2 转化为面面平行】

   技巧：

   1. 可以找到目标直线上的一个平面，如果该平面与目标平面平行，那么目标直线与目标平面平行。
   2. 证明面面平行只需要证明所作出的平面上两条相交直线与目标平面平行即可，又可以利用线面平行的技巧（即转化为线线平行）进行证明。
   3. 当目标线段的端点是某个边的中点时，可以考虑【1 转化为线线平行】3 中的第一种方法。

   【3 平行线分线段成比例定律 逆定理】

   1. 从平行线段得到线段成比例。

5. 处理“看不见”的交线策略：

   • 若交线不容易画出，而题目所求与交线的位置关系有关，我们可以考虑确定交线的方向。由于与交线平行的所有直线一定平行于两个平面或在两个平面内，那么我们可以找到一条直线同时与两个平面平行，一般可以在其中一个平面中找到一条直线与另外一个平面平行（线面平行又可以转化成线线平行，所以相当于在两个平面内找两条互相平行的直线），那么这条直线的方向就和交线的方向一致，就可以确定交线的方向然后求解。

     简单的说，设 $l$ 是两平面交线，若两平面上各存在一条直线 $m,n$，且 $m\parallel n$，则 $l\parallel m \parallel n$。

   • 若交线容易画出，则画出交线然后求解。（画交线也可以考虑利用上一条中 $l\parallel m$ 确定 $l$ 的方向，然后再确定一个两平面的交点，就可以确定 $l$ 的位置）

面面平行

1. 判定定理：

   文字表示：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

   符号表示：如果 $l \subset \alpha,m \subset \alpha,l \cap m=P,l\parallel \beta,m\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$。

2. 性质定理：

   文字表示：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

   符号表示：如果 $\alpha \parallel \beta,\alpha \cap \gamma =l,\beta \cap \gamma =m$，则 $l \parallel m$。

   作用：已知面面平行可以推出线线平行：找平面，得交线，出平行。

   注意：这个定理的易错点是必须要保证有第三个交面将之前的两个平面所截，才能考虑交线。

3. 已知面面平行，推出线线平行，应该首先找到一个面与已知的两个面相交。

4. 如果两个平面平行，那么一个平面内的任意直线平行于另一个平面。

5. 证明一个动点与另一个顶点组成的动直线与另一个平面是否平行，实际上就是要判断这个直线所在的定平面与另一个平面是否平行。

线线垂直与线面垂直

1. 证明共面垂直：

   一般使用平面几何法。

   • 常用定理：等腰三角形三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线的逆定理。

   • 常见模型：

     1. 正方形中的斜垂直，如下图：$E,F$ 分别是 $DC,BC$ 的中点，则 $AF\perp BE$。

     2. $1:\sqrt{2}$ 的矩形，如下图：在矩形 $ABCD$ 中，$BC=\sqrt{2}AB$，$E$ 为 $BC$ 中点，则 $AE\perp BD$。

2. 证明异面垂直：

   • 一般情况下，遇到两条直线异面垂直经常转化为线面垂直。且需要考虑两种情况，即如果题目告诉 $a\parallel b$，既可以转化成直线 $a$ 垂直于直线 $b$ 所在的平面，又可以转化为直线 $b$ 垂直于直线 $a$ 所在的平面。

     若要证明两异面直线 $l_1 \perp l_2$，则可以找到一条与 $l_1$ 垂直的直线 $l_3$，然后 $l_2$ 可以与 $l_3$ 构成平面。

     注意：此种方法也可以用于处理共面垂直，但比较少见。

   • 三垂线定理及逆定理：将异面直线垂直转化成共面直线垂直。

     三垂线定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也就和这条斜线垂直；

     如图，已知 $PH \perp$ 平面 $\alpha$，$m \subset \alpha$，则：$OH \perp m \Longleftrightarrow l \perp m$。即斜线垂直 $\Longleftrightarrow$ 射影垂直。

     证明：

     $$\because m\perp OH,m \perp PH\\ \therefore m \perp 平面 ~OPH\\ 又 \because l \subset 平面 ~OPH\\ \therefore m \perp l$$

     逆定理：如果平面一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3. 线面垂直的判定定理：

   文字表示：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

   符号表示：如果 $m \subset \alpha,n \subset \alpha,m\cap n=P,l\perp m,l \perp n$，则 $l \perp \alpha$。

   一般找两条相交直线可以先找到已知的垂直和共面垂直，再找异面垂直。

4. 线面垂直的性质定理：

   文字表示：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

   符号表示：如果 $l \perp \alpha,m\perp \alpha$，则 $l \parallel m$。

5. 已知一个棱锥两条棱 $PA$ 和 $PB$ 相等，则从顶点 $P$ 做高 $PO$，那么有 $OA=OB$。由于 $OA$ 和 $OB$ 可以看做是 $PA$ 和 $PB$ 在底面上的投影，所以有斜线相等，投影相等。

6. 共底边的等腰三角形，底边垂直于其它顶点连线。

面面垂直

1. 判定定理：

   文字表示：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

   符号表示：如果 $l \subset \alpha,l \perp \beta$，则 $\alpha \perp \beta$。

   找垂线：先找交线的垂线。若交线不好找，可以找到平面的关键直线然后考虑该直线与另一个平面是否垂直。

2. 性质定理：

   文字表示：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

   符号表示：如果 $\alpha \perp \beta,\alpha \cap \beta = m,l\subset \alpha,l\perp m$，则 $l\perp \beta$。

   使用该定理的步骤：先找交线，再作交线的垂线，得线面垂直。

   易错点：未找交线直接证明线面垂直。

3. 正方体中的体对角线与三条面对角线构成的平面垂直。

空间向量与建系法要点及解题方法

1. 建系法的一般步骤：建系 $\to$ 写出点坐标 $\to$ 求向量坐标（直线方向向量，平面法向量） $\to$ 用向量解决问题。

2. 求线段定比分点坐标：

   • 将线段之间关系转化为向量之间的关系，求出相关向量的坐标。然后将定比分点坐标用相关向量和另一个点表示，从而求出该定比分点的坐标。

   • 定比分点的坐标公式：

     若点 $P$ 在线段 $AB$ 上，且 $\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{m}{n}$，则 $A,P,B$ 的坐标满足 $P=\dfrac{n}{m+n}A+\dfrac{m}{m+n} B$。

3. 求平面法向量：先求出平面上两个不共线向量的坐标，然后根据法向量与平面上的向量垂直列方程求解。

   主要介绍已知两个向量坐标 $(x_1,y_1,z_1)$ 和 $(x_2,y_2,z_2)$ 后，求解法向量的叉乘做法：

   先将已知的两个向量坐标上下写两遍（可以考虑把两个向量同时化简约分后再计算），即：

   $$x_1~~~~~~y_1~~~~~~z_1~~~~~~x_1~~~~~~y_1~~~~~~z_1\\ x_2~~~~~~y_2~~~~~~z_2~~~~~~x_2~~~~~~y_2~~~~~~z_2$$

   然后删掉第一列和最后一列，即：

   然后对于中间四列，每相邻两列做 左上 $\times$ 右下 $-$ 左下 $\times$ 右上：

   得到：平面的一个法向量 $\overrightarrow{n}=(y_1\times z_2-y_2\times z_1,z_1\times x_2-z_2\times x_1,x_1\times y_2-x_2\times y_1)$。

   然后再约分化为最简即可。

   注意：某些容易直接看出来的法向量可以直接写出。（例如坐标平面的法向量、题目中已知某个向量垂直于某个平面等）

4. 向量法证明直线与平面平行时，当求出对应方向向量与法向量垂直时，还要判断直线不在平面内才能确认直线平行于平面。

5. 证明 $A,B,C,D$ 四点共面，相当于证明 $D$ 在平面 $ABC$ 内，即证明 $\overrightarrow{AD} \perp \overrightarrow{n}$，其中 $\overrightarrow{n}$ 是平面 $ABC$ 的法向量。

6. 证明直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交 $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{l}\cdot \overrightarrow{n}\ne 0$。

7. 如图，证明直线 $AB$ 和直线 $CD$ 异面 $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n}\ne 0$。

8. 建系法求角度的一般思路是①先求出对应向量夹角的余弦值②找到所求角和向量夹角之间的关系。

9. 由于二面角的范围是 $\theta \in [0,\pi]$，所以通过向量法求二面角时，需要考虑二面角是锐角还是钝角。

   可以通过判断二面角与两个法向量夹角的关系来判断二面角余弦值的正负。

   当二面角与法向量夹角相等时，二面角余弦值等于向量夹角余弦值；

   当二面角与法向量夹角互补时，二面角余弦值是向量夹角余弦值的相反数。

   具体判断可以采用画图的方法。例如：

   作图要点：

   • 在二面角内部选择向量夹角的起点；
   • 搞清楚从起点出发的法向量是穿过还是远离平面。

10. 空间内点到直线的距离公式：如图，点 $A$ 为直线 $BC$ 外一点，过点 $A$ 作 $AH\perp BC$ 于 $H$，则 $AH$ 为点 $A$ 到直线 $BC$ 的距离，且 $AH=\sqrt{|\overrightarrow{BA}|^2-\dfrac{(\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC})^2}{|\overrightarrow{BC}| ^2}}$。

11. 利用坐标法解决动点问题的一般思路是：

    • 已知角度、距离，求动点坐标：设出动点坐标 $\to$ 列方程 $\to$ 解方程。
    • 求角的最大最小值：把角度表示成有关动点坐标的函数。（例如下图中有可能会表示成 $t$ 的函数）

    需要注意的是当动点在线段上时，设出的点的坐标可能有范围，需要解方程时需要考虑未知数的范围求解。

    当一个点在一个斜线上时，可以通过三点共线的充要条件，即 $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow b$，设出 $\lambda$，然后列方程求解，若这个斜线对应的是一段线段，则 $0 \le \lambda \le 1$。然后利用求线段定比分点的方法求解。

    形式化地，如图，若 $P$ 为线段 $AB$ 上一动点，设 $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB},0 \le t \le 1$，则 $P=(1-t)A + t B$。

12. 利用坐标法求空间中的位置关系时，首先要建系，就是说要找到三组两两垂直且公共端点的直线，可以先猜测可能的垂直关系，然后利用各种立体几何中证明线线垂直的方法证明。

    基本原则：若有已知的垂直通过已知的垂直建系，若没有已知的垂直，则自己画坐标轴建系。

    常见的技巧：

    • 利用线面垂直建系：若已知一条直线与一个平面垂直，那么可以将该直线的一个方向作为坐标系的其中一条轴。然后再在平面内取两条垂直直线所在的方向作为两外两条轴。

    • 利用面面垂直建系：可以选择以两平面的交线作为一条轴，两平面内分别做交线的垂线为另外两个轴。

      特殊情况：若这两个面上含有一对共底边的等腰三角形，可将底边中点作为原点，底边所在直线的一个方向作为一个坐标轴，原点与两个等腰三角形的顶点连线的所在方向作为另外两个坐标轴。

    • 若题目中已知圆柱、圆锥、圆台，可以将高所在的方向作为一条坐标轴，地面上选两条垂直直线作为另外两条轴。

13. 空间直角坐标系中，求点的坐标常见的有以下几种情况：

    • 坐标轴上的点：一般可以直接看出；

    • 坐标平面内的点：有时候可以直接看出，坐标平面不能直接看出来的，可以将其平面图画出来，从这个点向平面内两坐标轴作垂线，然后求解。

    • 对于平行四边形上的点，如图，有：$\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$。

    • 中点坐标：可以利用中点坐标公式；

    • 定比分点坐标：见 2。

    • 动点坐标：同 11。