集合
一般地,我们把研究对象统称为 元素,把一些元素组成的总体叫做 集合(简称为 集),这些元素满足下面三个特征:
- 确定性,即给定一个集合,那么在所研究的范围内,有哪些元素属于这个集合是确定的.
- 互异性,即一个集合中的元素必须互不相同.
- 无序性,即集合中元素的排列顺序是无关紧要的.
我们通常用大写拉丁字母 A,B,C,… 表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c,… 表示集合中的元素.
如果组成两个集合的所有元素完全相同,则称这两个集合是 相等 的,用等号表示.
如果 a 是集合 A 的元素,则称 a 属于 集合 A,记作 a∈A;反之,则称 a 不属于 集合 A,记作 a∈A.根据集合的确定性,对于一个元素 a,其与给定的集合 A 之间的关系只有属于或不属于两种可能性.
集合的表示有下面三种方法.
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号「{}」括起来,这种表示集合的方法叫做 列举法.如
- 「地球上的四大洋」组成的集合为 {太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}.
- 小于 10 的所有自然数组成的集合为 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
- 方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为 B={0,1}.
由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因此一个集合可以有不同的列举方法.如上例中集合 A 还可以写成 A={2,1,4,7,8,3,6,9,0,5} 等.
一般地,设 A 是一个集合,我们把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为
{x∈A∣P(x)},
这种表示集合的方法称为 描述法.
- 小于 10 的所有自然数组成的集合为 A={x∈N∣x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
- 方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为 B={x∈R∣x2=x}={0,1}.
总之,竖线左侧表示集合中的 元素及其范围,竖线右侧表示元素所满足的 条件.
我们约定,如果从上下文看,x∈R,x∈Z 是明确的,那么 ∈R,∈Z 可以省略.如 {x∣x<10} 表示 {x∈R∣x<10}(复数无法与实数比较大小),{x∣x=2k+1,k∈Z} 表示 {x∈Z∣x=2k+1,k∈Z}.
注:竖线分隔符也可以用冒号代替.
- 自然数集(或非负整数集):N={0,1,2,3,…}.
- 正数集:N∗ 或 N+={1,2,3,…}.
- 整数集:Z={…,−2,−1,0,1,2,…}.
- 有理数集:Q={a∈R∣a=pq,p,q∈Z,(p,q)=1,p>0} (Q 来源于 quotient(商)).
- 实数集:R.
- 复数集:C.
- 素数集:P={2,3,5,7,11,13,17,…}.
对于 N,Z,Q,R,C,右上角加星号表示去零.
注:对于 N,Z,Q,R,右下角标可以用于表示对范围的限制,如 R≥0:={x∈R∣x≥0}.(高中考试不要使用!)
注:在印刷体中,一般使用粗体 N 或黑板粗体 N 表示数集,如人教版高中数学教材采用的就是正粗体 N.在手写体中,一般应该使用黑板粗体.
用 Venn 图 可以形象地表示集合以及集合间的包含关系.这种表示方法在小学、初中已经学过,不再赘述.
另一种表示 一个范围内的所有实数构成的数集 的方法是 区间.其形如:
- [a,b]={x∈R∣a≤x≤b}.
- [a,b)={x∈R∣a≤x<b}.
- (a,b]={x∈R∣a<x≤b}.
- (a,b)={x∈R∣a<x<b}.
- [a,+∞)={x∈R∣x≥a}.
- (a,+∞)={x∈R∣x>a}.
- (−∞,b]={x∈R∣x≤b}.
- (−∞,b)={x∈R∣x<b}.
- (−∞,+∞)=R.
总之,我们用方括号表示包含端点,圆括号表示不包含端点.正、负无穷一般用圆括号.
两端包含端点的称为 闭区间,两端不包含端点的称为 开区间,一端包含一端不包含的称为 半开半闭区间.
另外,用区间的并表示「或」,如 (−∞,1)∪[23,+∞)={x∈R∣x<1 或 x≥23},(−∞,2)∪(2,+∞)={x∈R∣x=2}.
注:正无穷 +∞ 中的正号 + 有时可以省略.
集合间的关系就是包含与被包含的关系.
一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,就称集合 A 为集合 B 的 子集,记作 A⊆B 或 B⊇A,读作「A 包含于 B」或「B 包含 A」.
一般地,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,那么集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B.也就是说,
A⊆BandB⊆A⟺A=B.
如果集合 A⊆B,但存在元素 a∈A,且 a∈/B,就称集合 A 是集合 B 的 真子集,记作 A⫋B 或 B⫌A.
一般地,我们把不含任何元素的集合叫做 空集,记为 ∅,并规定:空集是任何集合的子集.
根据定义,可以得到下列结论:
- 任何一个集合是它本身的子集,即 A⊆A.
- 对于集合 A,B,C,若 A⊆B 且 B⊆C,则 A⊆C.
注:课本中用「⊆」和「⫋」分别表示子集和真子集,而有些人用「⊆」和「⊂」表示,还有些人用「⊂」和「⫋」表示.因此,对于一篇文章,应注意明确其使用的表示方式.
注:空集也可以表示为 {}.
一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的 并集,记作 A∪B(读作「A 并 B」),即
A∪B:={x∣x∈Aorx∈B}.
性质如下:
- A∪∅=A.
- A∪A=A.
- A∪B=B∪A.
- A∪B=A⟺B⊆A.
一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的 交集,记作 A∩B(读作「A 交 B」),即
A∩B:={x∣x∈Aandx∈B}.
性质如下:
- A∩∅=∅.
- A∩A=A.
- A∩B=B∩A.
- A∩B=A⟺A⊆B.
一系列集合的并集或交集可以用大运算符表示,其使用方法与求和符号相同:
i=1⋃nAi=A1∪⋯∪An.i=1⋂nAi=A1∩⋯∩An.
一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为 全集,通常记作 U.通常也把给定的集合作为全集.
对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的 补集,简称为集合 A 的补集,记作 ∁UA,即
∁UA:={x∣x∈U and x∈/A}.
性质如下:
-
A∪(∁UA)=U.
-
A∩(∁UA)=∅.
-
∁U∅=U.
-
∁UU=∅.
-
∁U(∁UA)=A(对合律).
-
若 A⊆B,则 ∁UB⊆∁UA(逆否命题).
-
De Morgan 定律:
∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
注:如果从上下文看,所讨论的全集 U 是显然的,那么 U 可以省略,即将 A 的补集表示为 ∁A.
注:补集 ∁AB 与差集 A∖B 的定义相同,都表示由集合 A 中不属于集合 B 的所有元素构成的集合,但补集一般用于 B⊆A 的情形,而差集则不限制.(差集不属于高中范围.)
用 card(A) 表示集合 A 的基数(cardinality),即有限集合 A 中元素的个数.
注:也可以表示为 ∣A∣,但此符号也同时表示实数的绝对值、复数的模以及向量的长度等.
若集合 A 中含有 n(n∈N)个元素,则
- 它的子集个数为 2n;
- 它的真子集个数为 2n−1;
- 它的非空子集个数为 2n−1;
- 它的非空真子集个数为 2n−2(n≥1).
在组合数学和概率与统计中经常用到.
对任意两个有限集合 A,B,有
card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B).
三个集合的容斥原理:
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣.
一般通过分类讨论解决.
设 a,b∈R,集合 {1,a+b,a}={0,ab,b},求 a2023+b2024 的值.
首先 a=0,那么 a+b=0.
若 ab=1,则 b=a,那么 a=b=2a=0,与题意矛盾,舍去.
若 b=1,则 a=−1.因此左侧集合为 {1,0,−1},右侧集合为 {0,−1,1},成立.
综上所述,a=−1,b=1,则 a2023+b2024=0.
这部分题目经常与函数的定义域、值域结合.{x∣y=f(x)} 表示函数 f(x) 的定义域,{y∣y=f(x)} 表示函数 f(x) 的值域,注意看清题干.
已知集合 A={y∣y=2x−1,1≤x≤2},B={x∣y=lg(2−x)},则下列结论正确的是( )
- A. A⊆B
- B. A∩B=[0,2]
- C. A∪B=(−∞,2]
- D. (∁RA)∪B=R
有关初等函数的性质,参见初等函数部分.
A=[21−1,22−1]=[1,2],B={x∣2−x>0}=(−∞,2).因此 C 选项正确.
这部分题目也经常与解不等式相结合,例如,将区间的包含关系转化为端点之间的不等关系.
已知 集合 A={x∣−1≤x≤4},C={x∣2m<x<m+1}.若 ∃x∈C,x∈A 为假命题,求实数 m 的取值范围.
注意不要忘了讨论 集合 C 为空集 的情况.
∃x∈C,x∈A 为假命题,则 ∀x∈C,x∈/A 为真命题,即 C∩A=∅.
若 C=∅,则 2m≥m+1,解得 m≥−1.
若 C=∅,则 2m<m+1≤−1 或 4≤2m<m+1,解得 m≤−2.
综上,实数 m 的取值范围是 (−∞,−2]∪[−1,+∞).
如果涉及抽象集合,很可能画出 Venn 图可以让信息变得更加直观.很多题目也会给出 Venn 图,求阴影部分的表达式.
设 P,Q 是两个集合,定义集合 P∖Q={x∣x∈Pandx∈/Q},如果 P={x∣1<2x<4},Q={y∣y=2+sinx,x∈R},请求出 P∖Q.
P=(0,2),Q=[1,3].根据定义,P∖Q 就是从 P 中去掉 P 和 Q 共有的部分后剩余的集合,因此 P∖Q=(0,1).
(多选题) 设集合 X 是实数集 R 的子集,如果 x0∈R 满足对任意的 a>0,都存在 x∈X,使得 0<∣x−x0∣<a,则称 x0 为集合 X 的聚点.则下列集合中是以 0 为聚点的有( )
- A. {x∣x∈R,x=0}
- B. {x∣x∈Z,x=0}
- C. {x∣x=n1,n∈N∗}
- D. {x∣x=n+1n,n∈N∗}
这道题的思想常应用于证明集合的有界性,以及对极限的严谨定义.
题意翻译一下也就是说:如果集合 X 中的元素能 任意地接近 x0,或者说与 x0 的 距离任意地小,那么 x0 为 X 的聚点.
A 选项即为 (−∞,0)∪(0,+∞),其中的元素能任意地接近 0,因此 0 是聚点.
B 选项,由于集合中的点是离散的整数点,其中的元素不能任意地接近 0,因此 0 不是聚点.
C 选项,由于 n 可以无限大,1/n 可以无限接近 0,因此 0 是聚点.
D 选项,由于整数 n≥1,n+1n=1−n+11≥21,则其不能无限接近 0,因此 0 不是聚点.
对于 A,对任意的 a,集合中有 x=2a 使得 ∣x−0∣=2a<a,满足定义.
对于 B,取 a=21,则不存在集合中的元素 x 使得 ∣x−0∣=∣x∣<a.
对于 C,对任意的 a,取 n=⌈a1⌉+1,则