高中数学基础

本节介绍一些初中可能没讲，但高中老师默认你已经会了的知识点．

韦达定理

一元二次方程的韦达定理在初中是选学知识点，但在高中则是非常重要的（尤其在解析几何中）．

一元二次方程的韦达定理

对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a,b,c\in\mathbb C$，$a\ne0$），韦达定理给出了 根与系数的关系，由法国数学家弗朗索瓦 · 韦达（François Viète）发现．

韦达定理

设 $x_1,x_2\in\mathbb C$ 是一元二次多项式 $ax^2+bx+c$ 的两根，则有

$$x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.$$

证明

由多项式的唯一分解定理有

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2,$$

而两多项式相等当且仅当其各项系数对应相等，从而得证．

韦达定理的逆定理同样成立：若对于实数 $a,b,c$（$a\ne0$），有 $x_1,x_2$ 满足上式，则 $x_1,x_2$ 为一元二次多项式 $ax^2+bx+c$ 的两根．

*一元 $n$ 次方程的韦达定理

（求和符号 $\sum$ 的意义与性质见下文．）

对于复数域 $\mathbb C$ 上的 $n$ 次多项式

f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n,\tag1

设 $f(x)$ 在 $\mathbb C$ 中有 $n$ 个根 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，那么 $f(x)$ 可以分解成

f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n).\tag2

将 $(2)$ 式展开，与 $(1)$ 式比较，即得根与系数的关系如下：

\left\{ \begin{aligned} -a_1&=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n,\\ a_2&=\alpha_1\alpha_2+\dots+\alpha_1\alpha_n+\alpha_2\alpha_3+\dots+\alpha_2\alpha_n+\dots+\alpha_{n-1}\alpha_n,\\ \cdots&\cdots\\ (-1)^ia_i&=\sum_{k_1=1}^n\sum_{k_2=k_1+1}^n\cdots\sum_{k_i=k_{i-1}+1}^n\alpha_{k_1}\alpha_{k_2}\cdots\alpha_{k_i},\\ \cdots&\cdots\\ (-1)^na_n&=\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n. \end{aligned} \right.

其中 $(-1)^ia_i$ 即等于所有可能的无序指标集合 $\{k_1,k_2,\cdots,k_i\}$ 对应的 $\alpha_{k_1}\alpha_{k_2}\cdots\alpha_{k_i}$ 之和，称为关于 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 的初等对称多项式．

例如，$n=3$ 时的韦达定理：多项式 $x^3+bx^2+cx+d$ 的三根 $x_1,x_2,x_3$ 满足

$$\begin{aligned} b&=x_1+x_2+x_3,\\ c&=-x_1x_2-x_1x_3-x_2x_3,\\ d&=x_1x_2x_3. \end{aligned}$$

$n=4$ 时的韦达定理：多项式 $x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$ 的四根 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 满足

$$\begin{aligned} a_1&=x_1+x_2+x_3+x_4,\\ a_2&=-(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4),\\ a_3&=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4,\\ a_4&=-x_1x_2x_3x_4. \end{aligned}$$

因式分解

下面默认在有理数域 $\mathbb Q$ 上进行因式分解，即将 $x^2-3$ 和 $x^2+4$ 等视为不可约多项式（即不能继续因式分解的多项式）．

首先，有一个定理：

实系数多项式因式分解定理

每个次数 $\ge1$ 的实系数多项式在实数域 $\R$ 上都可以唯一地分解成 一次因式与二次不可约因式的乘积．

这样就保证了因式分解的可行性．

在初中，我们讨论过对一元二次多项式进行因式分解的三种方法：

1. 提公因式法；
2. 公式法（平方差公式和完全平方公式、求根公式）；
3. *十字相乘法．

前两种不再赘述，下面举两个十字相乘法的例子．

例 1

对 $6x^2+x-15$ 进行因式分解．

解

首先考虑两根的正负．由于 $-15$ 是负的，两根一定是一正一负，值可能是 $1,15$ 或 $3,5$，不妨猜其是 $3,5$，而 $6x^2$ 不妨猜是 $2x\cdot3x$，经过排列组合的试验，确定 $|3x\cdot3-2x\cdot5|=x$，由于 $+x$ 是正的，故令 $2x\cdot5$ 为正，$3x\cdot3$ 为负，从而：

$$\begin{array}{cccc} & 6x^2 & +x & -15 \\ = & 2x & & -3 \\ \times & 3x & & 5 \end{array}$$

由于 $2x\cdot5+3x\cdot(-3)=x$，从而因式分解为 $6x^2+x-15=(2x-3)(3x+5)$．

例 2

对 $5x^2+6xy-8y^2$ 进行因式分解．

解

将 $5x^2$ 拆成 $x\cdot5x$．猜想将 $-8y^2$ 拆成 $(-2y)(4y)$ 或 $(2y)(-4y)$．讨论各种情况，可得：

$$\begin{array}{cccc} & 5x^2 & +6xy & -8xy^2 \\ = & x & & 2y \\ \times & 5x & & -4y \end{array}$$

由于 $x\cdot(-4y)+(2y)(5x)=6xy$，从而因式分解为 $5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y)$．

多项式的带余除法

与整数的带余除法相似，多项式也可以进行带余除法．

多项式带余除法定理

对于任意两个多项式 $f(x),g(x)$，其中 $g(x)\ne0$，存在唯一的多项式 $q(x),r(x)$，使得

$$f(x)=q(x)g(x)+r(x),$$

其中 $r(x)$ 的次数小于 $g(x)$ 的次数，或 $r(x)=0$．

多项式除法的过程，其实就是将整数除法中第 $i$ 位底数从 $10^i$ 改为 $x^i$，并且没有进位，演示如下：

例 3

求用 $g(x)=x+3$ 去除 $f(x)=2x^5-5x^3-8x$ 所得的商 $q(x)$ 与余式 $r(x)$．

解

$$\begin{array}{rrrrrrr} q(x)= & 2x^4 & -6x^3 & +13x^2 & -39x & +109 \\ \hline x+3 \Big| & 2x^5 & + 0x^4 & -5x^3 & + 0x^2 & -8x & + 0 \\ - & 2x^5 &6x^4 \\ \hline &&-6x^4 & -5x^3 \\ - && -6x^4 & -18x^3 \\ \hline &&& 13x^3 & +0x^2 \\ - &&& 13x^3 & +39x^2 \\ \hline &&&& -39x^2 & -8x \\ - &&&& -39x^2 & -117x \\ \hline &&&&& 109x & +0 \\ - &&&&& 109x & +327 \\ \hline r(x)= &&&&&& -327 \\ \end{array}$$

即 $2x^5-5x^3-8x=(x+3)(2x^4-6x^3+13x^2-39x+109)-327$．

这样，我们可以先猜出一个根 $x_0$，然后用 $x-x_0$ 去除原多项式，这样不断进行下去，得到最终的标准因式分解．

这种方法称为 猜根法．

在猜根时，我们可以根据常数项和最高次项系数来猜．具体来说：

• 对于最高次项系数为 $1$ 的整系数多项式 $f(x)$，如果 $b$ 是 $f(x)$ 的根，那么 $b$ 整除 $f(x)$ 的常数项（正负不一定相同）．
• 对于最高次项系数不为 $1$ 的整系数多项式 $f(x)$，如果有理数 $b/a$ 是 $f(x)$ 的根（即 $ax-b$ 是 $f(x)$ 的因式），那么：
  • $b$ 整除 $f(x)$ 的常数项；
  • $a$ 整除 $f(x)$ 的最高次项系数．

这样找出来的是在有理数范围内的根，对于无理根，我们不做讨论．

例 4

在 $\mathbb Q$ 上因式分解：$x^4+4x^3+4x^2-x-2$．

解

根据上面的结论，根可能为 $\pm1,\pm2$，代入得 $x_1=-1$ 为一个根，进行多项式除法：

$$\begin{aligned} x^4+4x^3+4x^2-x-2&=(x+1)x^3+3x^3+4x^2-x-2\\ &=(x+1)(x^3+3x^2)+x^2-x-2\\ &=(x+1)(x^3+3x^2+x)-2x-2\\ &=(x+1)(x^3+3x^2+x-2), \end{aligned}$$

进一步对 $x^3+3x^2+x-2$ 进行因式分解，代入 $\pm1,\pm2$ 得到 $x_2=-2$ 为一个根，进行多项式除法：

$$\begin{aligned} x^3+3x^2+x-2&=(x+2)x^2+x^2+x-2\\ &=(x+2)x^2+(x+2)(x-1)\\ &=(x+2)(x^2+x-1). \end{aligned}$$

因此，最终的结果为 $x^4+4x^3+4x^2-x-2=(x+1)(x+2)(x^2+x-1)$．

连加与连乘符号

连加符号

在数学中，常常碰到 $n$ 个数连加的式子

$$a_1+a_2+\dots+a_n,$$

我们将上式简记为

$$\sum_{i=1}^na_i,$$

其中 $\sum$ 称为连加号（大写希腊字母西格玛 Σ），$a_i$ 表示一般项，连加号下方的 $i=1$ 表示指标（下标）变量为 $i$，并从 $1$ 开始，上方的 $n$ 表示一直加到 $i=n$ 为止．例如：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^ni^2&=1^2+2^2+\dots+n^2,\\ \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\frac{x^{2i-1}}{(2i-1)!}&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}. \end{aligned}$$

指标变量选用哪个字母是无关紧要的，只要不与一般项中出现的其它字母重复即可．常用的字母有 $i,j,k,l,s,t$ 等．

连加号可以嵌套，比如要将 $n$ 行 $m$ 列矩阵

$$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix}$$

中的所有数加起来，我们可以先将每一行的元素分别加起来，再把这些和加起来．第 $i$ 行的和为

$$s_i=\sum_{j=1}^ma_{ij},$$

故总和

s=\sum_{i=1}^ns_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^ma_{ij}\right).

我们可以证明，求和顺序是无关紧要的，即我们可以任意交换连加号的顺序，故事实上不需要加括号，即

$$s=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_{ij}=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^na_{ij}.$$

有时，我们需要列举集合 $A$ 中的所有元素，例如计算 $A$ 中的所有元素的平方和，可以记为：

$$\sum_{i\in A}i^2.$$

*轮换和：$\displaystyle\sum_{\mathrm{cyc}}f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$．

*对称和：$\displaystyle\sum_{\mathrm{sym}}f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(a,c,b)+f(b,a,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)+f(c,b,a)$．

*连乘符号

连乘符号为 $\prod$（大写希腊字母派 Π），与连加号用法相同，例如：

$$\prod_{i=1}^ni=1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n=n!.$$

连加号与连乘号可以混合起来嵌套使用．

直角三角形中的射影定理

在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=90\degree$，过直角顶点 $C$ 作高 $CD$，垂足为 $D$，则有：

$$\begin{aligned} CD^2&=AD\cdot BD,\\ CA^2&=AD\cdot AB,\\ CB^2&=BD\cdot AB. \end{aligned}$$

参考资料

• 北京大学数学系前代数小组编. 高等代数 [M]. 王萼芳, 石生明修订. 5 版. 北京: 高等教育出版社, 2019.5.