重要的代数思想

这一页代数思想的特征是：

废话不多说，开始学习．

主元思想

单元中的主元思想，是在 手算整式乘法 中提出的概念，其内容是：以 x 为本．

以 $(x + 2)(x + 3)$ 的计算为例．不少同学的计算步骤是：

即

\begin{aligned} (x + 2)(x + 3) &= x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \times 3 \\ &= x^2 + 3x + 2x + 6 \\ &= x^2 + 5x + 6 \end{aligned}

而对整式乘法计算更为熟练的同学，会将 打开括号、合并同类项 两个步骤合在一起进行．我们发现，这是两个关于 $x$ 的一次式相乘，因此结果应当是 $x$ 的二次式．因此，只需确定这个二次式的二次项、一次项和零次项（常数项）即可．

二次项：两个括号各贡献一个一次项 $x$ ，得 $x \cdot x = x^2$ ；
一次项：这里的贡献有两个来源：第一个括号贡献的一次项 $x$ ，第二个括号贡献的零次项 $+3$ ，得 $3x$ ；第一个括号贡献的零次项 $+2$ ，第二个括号贡献的一次项 $x$ ．得 $2x$ ．这样以来，一次项即 $2x + 3x = 5x$ ．
零次项：两个括号各贡献零次项， $2 \times 3 = 6$ ．

同样，得到结果 $x^2 + 5x + 6$ ．我们不再严格机械地将括号打开，而是根据「对结果的预期」与「每一项的来源」完成．在上面的例子中，这个方法的优越性体现地可能不明显，我们举一个更复杂的例子：

例题 1.1

展开 $(x - 5)(2x^2 + x - 4)$ ．

例题 1.1 解答

这是一个一次式与二次式的积，因此结果为 $x$ 的三次式．只需依次确定 $x$ 的三次项、二次项、一次项及零次项的系数．

三次项： $x \cdot 2x^2 = 2x^3$ ．
二次项：这里的二次项有两个来源：第一个括号贡献一次的 $x$ ，第二个括号贡献一次的 $x$ ，得到 $x^2$ ；第一个括号贡献零次的 $-5$ ，第二个括号贡献二次的 $2x^2$ ，得到 $-10x^2$ ，合并得 $x^2 - 10x^2 = -9x^2$ ．
一次项：这里的一次项也有两个来源：第一个括号贡献一次的 $x$ ，第二个括号贡献零次的 $-4$ ，得到 $-4x$ ；第一个括号贡献零次的 $-5$ ，第二个括号贡献一次的 $x$ ，得到 $-5x$ ，合并得 $-4x - 5x = -9x$ ．
零次项： $(-5) \times (-4) = 20$ ．

系数确定完成，得到展开结果： $2x^3 - 9x^2 - 9x + 20$ ．

怎么检查？

对于上面的展开结果，如何验证自己是否展开正确？

首先，不要盯着草稿纸看自己的计算步骤是否出现了错误，由于思维惯性，这样的错误是难以发现的．

一个更智慧的做法是：代个数进去，分别代入原式和你的展开结果，看计算结果是否一致．我们可以考虑代入 $x = 1$ ，原式的计算结果为：

(1 - 5) \times (2 \times 1^2 + 1 - 4) = 4

展开式的结果为

2 - 9 - 9 + 20 = 4

两个结果相同，因此展开应当是正确的．

这里代入其它数也是可以的，但不要代入 $x = 0$ ．因为这样会让两侧都只剩下常数项，无法检验一次项、二次项、三次项的系数是否计算正确．

例题 1.2

展开 $(x + 1)(x + 2)(x + 3)$ ．

例题 1.2 解答

熟练上面的「贡献」思想后，我们可以看出，结果是 $x$ 的三次式．

因此结果为 $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ ．

为了验证展开结果，可以代入 $x = 1$ ，结果均为 $24$ ，验证成功．

如果说单元中的主元思想是一种处理整式乘法时一种降低错误率提升效率