高中阶段不要求对极限的掌握,本章仅做了解即可,不做应试要求.
直观上看,数列 an=n1 在 n→+∞ 时无限接近于 0.这个「无限接近于 0」到底如何严谨地刻画呢?
答案是魏尔斯特拉斯提出的,具有划时代意义的 ε-N 语言:
对于数列 {an},如果存在实数 a,使得 ∀ε>0,∃N∈N∗,∀n>N,有 ∣an−a∣<ε,则称数列 {an} 收敛于 a,a 是 {an} 的 极限,记作
n→∞liman=a
也就是说,如果对于任意一个 ε>0,我们都能找到这个数列的某一项,使得 从这一项起后面的任一项 与 a 的距离均小于 ε,就称这个数列收敛于 a.
当一个数列不收敛时,称它是 发散 的.
用极限的定义证明 an=n1 时,{an} 收敛到 0.
n1−0=n1<ε⟺n>ε1因此,对任意 ε>0,取 N=max(⌊ε1⌋,1),则 n>N 时,有
n1−0<ε因此 n→+∞limn1=0.
高中阶段不要求证明极限.数列 {n1} 在 n→∞ 时趋于 0 是一个可以直接写出的结论.
对于函数 f(x) 与实数 a,如果存在实数 b,使得 ∀ε>0,∃δ>0,对任意 x∈(a−δ,a)∪(a,a+δ),有 ∣f(x)−b∣<ε,则 b 称作 f(x) 在点 a 的 极限,记作
x→alimf(x)=b
这就是严格定义函数极限的 ε-δ 语言.也就是说,对于任意 ε>0,我们都能找到一段 包含 a 但是扣去 a 的区间,使得这个区间上对应的函数值与 b 的距离都小于 ε,就称函数在点 a 处的极限为 b.
可以证明,函数在某点存在极限,则这个极限唯一.
- x→alim[f(x)±g(x)]=x→alimf(x)±x→alimg(x).
- x→alim[f(x)g(x)]=x→alimf(x)⋅x→alimg(x).
- 当 x→alimg(x)=0 时,x→alimg(x)f(x)=x→alimg(x)x→alimf(x).
这些性质不难感性理解,也可以严格证明,证明高中阶段不作要求,这里不给出.
若 x→alimf(x)=0,称 f(x) 为 x→a 时的 无穷小.
根据上面的四则运算规则,可以得知:
- 若 f(x),g(x) 都是 x→a 时的无穷小,则 f(x)±g(x) 是 x→a 时的无穷小.
- 若 f(x) 是 x→a 时的无穷小,且 x→alimg(x) 存在,则 f(x)⋅g(x) 是 x→a 时的无穷小.
但两个无穷小的商不能确定:运算法则规定了分母不能为无穷小.
设 f(x),g(x) 为 x→a 时的两个无穷小,且 g(x)=0,当 x→alimg(x)f(x) 存在时,
- 若 x→alimg(x)f(x)=0,则称当 x→a 时,f(x) 是 g(x) 的 高阶无穷小.
- 若 x→alimg(x)f(x)=b=0,则称当 x→a 时,f(x) 与 g(x) 是 同阶无穷小.
- 特别地,当 b=1 时,称当 x→a 时,f(x) 与 g(x) 是 等价无穷小,记作 f(x)∼g(x)(x→a).
等价无穷小替换公式:设 f(x)∼F(x)(x→a),g(x)∼G(x)(x→a),则
=x→alimg(x)f(x)=x→alim[G(x)F(x)⋅F(x)f(x)⋅g(x)G(x)]=x→alimG(x)F(x)⋅x→alimF(x)f(x)⋅x→alimg(x)G(x)=x→alimG(x)F(x)
也即对一个分式求极限时,分子与分母可以 替换为它的等价无穷小,而 极限值不改变,这个规则称作 等价无穷小替换规则.
一个最经典的等价无穷小是 x∼sinx(x→0) 和它的推论 x∼sinx∼cosx∼tanx(x→0)(证明从略).
高中物理中一些公式的推导用到的,所谓「x 很小,将 sinx 近似为 x」的原理,其实就是在做上面的 等价无穷小替换.
设函数 f(x) 在点 a 存在极限,且
x→alimf(x)=f(a)
称 f(x) 在点 a 连续.
可以证明,所有初等函数在定义域上都处处连续.
对连续函数 f(x),令自变量从 x 从 x0 出发,当自变量变化了 Δx 时,因变量 f(x) 会变化
Δf=f(x0+Δx)−f(x0)
这个过程中,称因变量变化与自变量变化之比为 因变量的平均变化速度,即
ΔxΔf=Δxf(x0+Δx)−f(x0)
这里的平均变化速度有两个意义需要体会:
- 物理意义:将 f(x) 图像视作某个物体做直线运动的 x-t 图像,则上式相当于从 x0 时刻开始的 Δx 时间内,物体平均速度 的大小.
- 斜率意义:上式为 (x0,f(x0)) 与 (x0+Δx,f(x0+Δx)) 的 连线斜率.
在物理中,物体的瞬时速度定义为上述平均速度中,将 Δx 趋近于 0 的结果.在数学上用极限表达就是
Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
这是两个无穷小相比,当极限存在时,称 f 在 x0 上 可导,极限值为 f 在 x0 上的 导数,记作
f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
可以证明,函数在某点 可导 比函数在某点 连续 要 强.
其物理意义为瞬时速度,斜率意义为 切线斜率:
将 B 拖至与 A 无限接近,此时斜线的斜率会趋近一个值,这个值就是 f 在 xA 上的 导数.
我们定义:一元函数在点 x0 上的 切线 为 过点 (x0,f(x0)) 且斜率为 f′(x0) 的直线,即
y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)
根据上面的讨论,对 于一条过函数图线上某两点的 割线,让其中一点 沿着函数图线 无限 逼近 另一点,得到的直线即 切线.
函数切线的定义与圆锥曲线中的切线定义有所不同.圆锥曲线中的切线的定义是一条 与圆锥曲线有且仅有一个交点 的直线,但一元函数的切线与函数本身的交点不一定只有一个.
不过,圆锥曲线的切线也可视作割线逼近的产物,一元函数的切线与圆锥曲线的切线都称作切线,正是这个原因.
一般地,如果函数 f(x) 在定义域 D 内每一点都 可导,则称 f(x) 可导.∀x∈D,f′(x) 唯一确定,因此 f′(x) 是在 D 上的一个函数,这个函数称作 导函数,简称 导数.求导 通常指的是求函数 f 的 导函数 的过程.
初等函数不一定处处可导,如:
- f(x)=∣x∣=x2 的图像为一个 V 形,在 x=0 处从两侧进行「割线逼近切线」,逼近出的切线斜率不同,左侧为 −1,右侧为 1,因此该函数在 x=0 不可导.
- f(x)=3x 在 x=0 的切线为竖直线,斜率不存在,因此该函数在 x=0 不可导.
对于这样的函数,其导函数在原函数的定义域上舍去不可导的部分(这两例中为 0),但这样的初等函数是少数.
因此,导函数 的 定义域 一定是 原函数 的 子集,并且在绝大多数情况下 两个定义域相同.
- 幂函数 的导数:对任意 α∈Q∖{0},若 f(x)=xα,则 f′(x)=αxα−1.
- 三角函数 的导数:(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx.
- 指数函数 的导数:(ax)′=axlna,(logax)′=xlna1,x>0.
- 指数函数 中 a=e 的情形值得注意:(ex)′=ex,(lnx)′=x1,x>0.
必须指出,logax 的定义域为 (0,+∞),但其导数形式 xlna1 的自然定义域是 {x∣x=0},因此必须加上定义域 (0,+∞) 的限制.
另外,无理数 e 的定义是
e=x→+∞lim(1+x1)x
无理数 e 与 ln 的特别意义到现在终于明显:它在指数函数的求导上具有高度的基础性和特殊性.
[f(x)+g(x)]′[f(x)−g(x)]′[f(x)⋅g(x)]′[g(x)f(x)]′====f′(x)+g′(x)f′(x)−g′(x)f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)g2(x)f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)
除法求导法则的要点:上面先导,下面后导,中间是 减号.
一些常用的简化运算规则:
[cf(x)]′=[c(x)⋅f(x)]′=c′(x)⋅f(x)+c(x)⋅f′(x)=c(x)⋅f′(x)
这里 c 是常数,c(x) 是 c 导出的常函数 c(x)=c.而 c′(x)=0,因此标红的一项为 0.
这条规则的意义是:f(x) 与 常数 相乘的导数,等于 f(x) 的导数与常数相乘.
这里的常数不仅可以是数字,还可以是 与 x 无关的参数,如 f(x)=(a+3)x2,则 f′(x)=(a+3)[x2]′=2(a+3)x.
以及 f(x)=2x2,f(x)=a+3x2,可以分别将常数视作 21 与 a+31 来运用此规则(而不是运用除法导数运算法则).
[exf(x)]′=(ex)′⋅f(x)+ex⋅[f(x)]′=ex⋅[f(x)+f′(x)]
函数 f(x)=sin2x 无法视作基本初等函数的四则运算,但可以视作基本初等函数的复合: