等式与不等式的基本性质
这篇文章基本上是基于教材重温小学、初中的知识.
等式的基本性质
- 对称性:.
- 传递性:.
- 可加性:.
- 可乘性:.
- 可除性:.
不等式的基本性质
- 对称性:;.
- 传递性:;.
- 可加性:.
- 可乘性:;.
- 同向可加性:.
- 同向同正可乘性:.
- 可乘方性:.
- 可开方性:.
关于应用传递性时能否取等:
- .
- .
不等式的性质拓展
有关倒数的性质
- .
- .
- .
- .
有关分数的性质
若 ,则:
-
真分数:(糖水不等式).
-
假分数:.
即真分数越加越大,假分数越加越小.可以用作差法证明.
其他性质
- .
- 对于任意 ,有 ,当且仅当 时等号成立.
- 对于任意 ,有 ,当且仅当 时等号成立.证明:,所以 .
不等式基本性质的有关题型
不等式的基本性质的直接应用
(多选题) 已知 ,则( )
- A.
- B.
- C.
- D.
对于 A,由于 ,所以若 A 成立,则 ,而当 时,,因此 A 错误.
对于 B,作差化简得 成立,因此 B 正确.
对于 C,两端除以 得 ,由于 ,所以 ,所以 成立,因此 C 正确.
对于 D,作差通分化简得 ,由于 ,所以 ,所以 ,即该式可以等于 ,因此 D 错误.
故选 BC.
对于这种选择题,如果直接证明比较困难,我们可以尝试 代入特殊值 来找反例.如:
-
例 1 A 选项:代入 得 ,因此不成立.
-
例 1 D 选项:代入 得 ,因此不成立.
作差法与作商法比较大小
证明不等式的常用方法有:作差法、作商法、反证法、同构法、放缩法等.其中同构法与放缩法将在之后提及.下面主要介绍 作差法 与 作商法.
为了将不等式两侧的数或式子移至同一侧,并且使另一侧留下来的数易于比较,我们可以采用作差法或作商法.
作差法是将不等式两侧作差移至同一侧,判断得到的差与 的大小关系,从而证明不等式.
作商法是将不等式两侧作商移至同一侧(注意变号),判断得到的商与 的大小关系,从而证明不等式.
若 ,判断 与 的大小关系.
在答题时,如果所证明的不等式可以取等,一定要说明取等条件.
因为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,当且仅当 时等号成立.
求代数式的取值范围
直接给出一般题型:
已知 ,,求 的取值范围.其中 是二元一次函数,具有 的形式.
设 .左右两边 和 的系数相等,由此列出方程组求得 .根据不等式的同向可加性,将两个已知条件分别乘以 和 然后相加,得到的即为 的范围:
糖水不等式的应用
在锐角三角形 中,求证:
(1);
(2).
(1)考虑将分母全部转化为 以合并不等式左边的三个分式.观察到不等式具有轮换性.在锐角 中,,且 ,由糖水不等式有
由不等式的同向可加性,三式相加得
证毕.
(2)考虑将分母转化为 以合并不等式右边的两个分式.可以猜想与三角形的三边关系有关.在锐角 中,,所以 ,由糖水不等式有
证毕.