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三角函数的概念

初中所学的角仅限于 0∘0\degree 到 180∘180\degree 之间的角，而研究的三角函数也仅限于锐角三角函数．在这一节中，我们将要把角度的范围与三角函数的定义域推广到实数域 R\R．

任意角与弧度制​

任意角​

一条射线绕其端点旋转，开始时的位置与旋转后的位置之间形成的夹角叫做 旋转角，起始位置与最终位置分别叫做 始边 和 终边．

我们规定，按 逆时针 方向旋转形成的旋转角为 正角，按 顺时针 方向则为 负角．如果没有任何旋转，则为 零角．任意角包括正角、负角、零角．如图所示．

正、负角的定义

类似数轴上的数，规定 角的加法：在角 α\al 的基础上按逆时针将终边旋转角 β\be，得到的总旋转角规定为 α+β\al+\be．同时，规定按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 相反角，角 α\al 的相反角记作 −α-\al．这样可以规定 角的减法：α+(−β)=α−β\al+(-\be)=\al-\be．

下面默认在平面直角坐标系 xOyxOy 中讨论角，使角的顶点与原点重合，角的始边与 xx 轴的非负半轴重合．

终边在第几象限，就说这个角是第几 象限角．如果角的终边在坐标轴上，认为这个角不属于任何一个象限，常称为 轴线角．

所有与角 α\al 终边相同的角（包括角 α\al 自身）构成的集合为 S={β∣β=α+k×360∘,k∈Z}S=\{\be\mid\be=\al+k\times360\degree,k\in\Z\}．

弧度制​

我们知道，角可以用度（∘\degree）为单位进行度量，1∘1\degree 等于周角的 1360\df1{360}．这种单位制称为 角度制．在角度制中，除了度，还有更小的单位分（′'）、秒（′′''）．他们之间的换算关系是：

1∘=60′,1′=60′′.1\degree=60',\quad1'=60''.

为了数学和其他科学研究的方便，引入了 弧度制．

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 11 弧度 的角，弧度单位用 rad\pu{rad} 表示．如图所示．

弧度的定义

一般地，在半径为 rr 的圆中，设弧长为 ll 的弧所对的圆心角为 α  rad\pu{\al\, rad}，则

∣α∣=lr.|\al|=\fr lr.

由此有扇形面积公式

S=12lr=12∣α∣r2.S=\fr12lr=\fr12|\al|r^2.

根据 180∘=π  rad180\degree=\pu{\pi\, rad} 可以进行角度与弧度的换算，设 a∘=αa\degree=\al，则

a∘=α×180∘π,α=a∘×π180∘.\bal a\degree&=\al\times\fr{180\degree}\pi,\\ \al&=a\degree\times\fr\pi{180\degree}. \eal

弧度是一个无量纲单位，定义为 1 rad=1\pu{1rad}=1．因此，弧度单位 rad\pu{rad} 常常省略不写．当在没有任何符号的情况下量化角度时，假设为弧度；当表示度数时，使用度符号 ∘\degree．

欧拉用弧度制将圆弧与线段的度量相统一．弧度制具有十分优美的性质，例如：

  • 欧拉公式 eix=cos⁡x+isin⁡x\e^{\i x}=\cos x+\i\sin x；
  • 泰勒级数展开 sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯\sin x=x-\df{x^3}{3!}+\df{x^5}{5!}-\df{x^7}{7!}+\cdots；
  • 重要极限 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\to0}\df{\sin x}x=1；
  • 角速度公式 ω=vr\om=\df vr．

常用角度与弧度的对应关系如下表：

角度0∘0\degree15∘15\degree30∘30\degree45∘45\degree60∘60\degree75∘75\degree
弧度00π12\df\pi{12}π6\df\pi6π4\df\pi4π3\df\pi35π12\df{5\pi}{12}
角度90∘90\degree120∘120\degree135∘135\degree150∘150\degree180∘180\degree360∘360\degree
弧度π2\df\pi22π3\df{2\pi}33π4\df{3\pi}45π6\df{5\pi}6π\pi2π2\pi

任意角三角函数的概念​

在平面直角坐标系 xOyxOy 中，称圆心为原点、半径为 11 的圆为 单位圆．设角 α\al（α∈R\al\in\R）的终边与单位圆的交点为 P(x,y)P(x,y)．

一般地，

  • 规定 α\al 的 正弦函数 为纵坐标 yy，即 y=sin⁡αy=\sin\al；
  • 规定 α\al 的 余弦函数 为横坐标 xx，即 x=cos⁡αx=\cos\al；
  • 规定 α\al 的 正切函数 为纵坐标与横坐标的比值，即 yx=tan⁡α\df yx=\tan\al（x≠0x\ne0）．

如下图所示．

单位圆 三角函数的定义

当终边在 yy 轴上时，x=0x=0，yx\df yx 无意义，故 tan⁡α\tan\al 的定义域为 {α∣α≠π2+kπ,k∈Z}\left\{\al\mid\al\ne\df\pi2+k\pi,k\in\Z\right\}．

一般地，设角 α\al 的终边与圆心为原点、半径为 rr 的圆的交点为 P(x,y)P(x,y)，则

sin⁡α=yr=yx2+y2,cos⁡α=xr=xx2+y2,tan⁡α=yx.\sin\al=\fr yr=\fr y{\sqrt{x^2+y^2}},\quad\cos\al=\fr xr=\fr x{\sqrt{x^2+y^2}},\quad\tan\al=\fr yx.

由于 r=x2+y2>0r=\sqrt{x^2+y^2}>0，可以确定各个象限角与轴线角的三角函数的正负情况，如下图和下表：

各三角函数在各象限内的符号

象限角 / 轴线角 α\alα\al 的范围sin⁡α=yr\sin\al=\df yr
（α∈R\al\in\R）		cos⁡α=xr\cos\al=\df xr
（α∈R\al\in\R）		tan⁡α=yx\tan\al=\df yx
（α∈{α∣α≠π2+kπ,k∈Z}\al\in\left\{\al\mid\al\ne\df\pi2+k\pi,k\in\Z\right\}）
第一象限角(0,π2)\left(0,\df\pi2\right)++++++
第二象限角(π2,π)\left(\df\pi2,\pi\right)++−-−-
第三象限角(π,3π2)\left(\pi,\df{3\pi}2\right)−-−-++
第四象限角(3π2,2π)\left(\df{3\pi}2,2\pi\right)−-++−-
终边在 xx 轴非负半轴α=0\al=0001100
终边在 yy 轴非负半轴α=π2\al=\df\pi21100无定义
终边在 xx 轴非正半轴α=π\al=\pi00−1-100
终边在 yy 轴非正半轴α=3π2\al=\df{3\pi}2−1-100无定义

可以简记为「CAST」，即在第四、一、二、三象限为正的三角函数分别为 Cos,“All”,Sin,Tan\text{{\color{red}C}os,“{\color{red}A}ll”,{\color{red}S}in,{\color{red}T}an}．

正弦函数 y=sin⁡xy=\sin x、余弦函数 y=cos⁡xy=\cos x、正切函数 y=tan⁡xy=\tan x 为高中涉及到的三角函数．

*此外还有三个三角函数，高中不要求掌握：

  • 余割函数 y=csc⁡x=1sin⁡xy=\csc x=\df1{\sin x}；
  • 正割函数 y=sec⁡x=1cos⁡xy=\sec x=\df1{\cos x}；
  • 余切函数 y=cot⁡x=1tan⁡xy=\cot x=\df1{\tan x}．