直线的方程
限于篇幅原因, 笔者将不再详细介绍 用方程表示曲线 的定义,只做一句话的概括:
在平面上,曲线 Γ 可视作点集 S.一个只含有 x,y 两个未知元的方程 F(x,y)=0 的解集为 T.注意到 S 与 T 均能刻画为 二元有序数对 的集合(S 中元素刻画为点的坐标形态,T 中元素将解 {x=x0y=y0 刻画为 (x0,y0)),当 S=T 时,我们称 F(x,y)=0 为曲线 Γ 的方程.
竖直线指平行于 y 轴的直线.如果已知竖直线 l 经过点 P0(x0,y0),我们可以断言 l 的方程是 x=x0.
同理,水平线指平行于 x 轴的直线.如果水平线 l 经过点 P0(x0,y0),可以断言 l 的方程是 y=y0.
一个点和一个方向确定一条直线.如果已知直线 l 经过点 P0(x0,y0),且其斜率为 k,l 就确定下来了.事实上,l 的方程可以表示为
y−y0=k(x−x0)
这个方程由直线上一点以及该直线的斜率确定,我们称它为直线的 点斜式方程,简称 点斜式.
点斜式方程可以表示任何 斜率存在 的直线,无法表示任何斜率不存在的直线.这一点在列斜率为参数的直线方程时需注意.
比如,如果直线 l 是一个经过定点 (3,5) 的直线,直接设成 y−5=k(x−3) 的带参(k)方程是有缺陷的,因为当 l 的倾斜角为 2π 时,点斜式不能表示 l,也不会有任何一个 k 满足导出的方程对应 l.
解决办法就是分类讨论.当 l 的斜率存在时,可以将它设为 y−5=k(x−3) 的带参方程;而如果 l 的斜率不存在时,它就是一条经过 (3,5) 的竖直线,也即 x=3.
对于直线 l,
- 如果与 x 轴 相交,则交点 横坐标 称作 l 的 横截距.
- 如果与 y 轴 相交,则交点 纵坐标 称作 l 的 纵截距.
- 如果 l 和某个坐标轴 平行或重合,则该坐标轴对应的截距不存在.
注意:截距的本质是横坐标或者纵坐标,是 可正可负可零 的,取值范围为 全体实数.
直线的斜截式是 点斜式中,定点位于 y 轴上 的特殊情形.若斜率为 k 的直线 l 过点 P0(0,b),其有点斜式方程
y−b=k(x−0)
可以整理为
y=kx+b
很明显,b 就是直线的纵截距.因此 y=kx+b 这个形式称作直线的 斜截式方程,简称 斜截式.
同理,斜率不存在 的直线 无法用斜截式表示.
直线 l 过定点 P0(a,0),则 除水平线外,l 都可以表示为
x=my+a
很明显,无论 m 取值如何,(a,0) 始终满足这个方程,即直线 过 (a,0).
- 当 m=0 时,上述方程表示 x=a,为 竖直线.
- 当 m=0 时,有 y=m1x+ma,可知斜率为 m1.因此,对于斜率为 k=0 的任意直线,m=k1 时即能表示目标直线.
横截式无 法表示 k=0 的水平线,需要在水平线处分类讨论.横截式不是课本内容,但在以后的圆锥曲线大题中会有用处,且 可以在大题中直接使用.
如果已知直线 l 经过不重合的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且 x1=x2,y1=y2.则 l 的方程为
y2−y1y−y1=x2−x1x−x1
这个方程由直线 l 经过的两点确定.称作 两点式方程,简称 两点式.
这个方程形式复杂,并且规则特别多:它要求 l 既不能是横线,也不能是竖线,因此解题时基本无用,可以 完全忽略.
给定直线上两点,求直线方程的情形中,可以直接 根据两点算出斜率,然后随便找一点和斜率列 点斜式方程,这是比两点式要简单的.
截距式 是 两点式 的 P1,P2 分别在 x 轴,y 轴上的情形.
设 P1(a,0),P2(0,b),要求 a=0 且 b=0(这个要求和两点式的 x1=x2 且 y1=y2 相吻合).
根据两点式有
b−0y−0=0−ax−a
整理可得
ax+by=1
该方程由直线 l 的纵截距和横截距确定,因此叫 截距式方程,简称 截距式.
虽然两点式没用,但其特殊情形斜截式形式简单漂亮,在适当的场合下使用,可能获得极大的简化效果.因此,截距式建议读者必须掌握.
截距式能且只能表示同时满足以下两个要求的直线:
- 必须同时有纵截距和横截距,即 不能为水平线或竖直线.
- 纵截距和横截距必须均不为 0,即 直线不能经过原点.
用含参截距式表示直线时,上面两种截距式不能表示的直线可能需要提前分类讨论.
事实上,平面直角坐标系中的直线和二元一次方程有非常良好的对应关系.下引出两个命题并证明.
平面直角坐标系中任意一条直线都能用一个二元一次方程表示.
考虑任意直线 l.
- 如果 l 的斜率存在且为 k,可以在 l 上任取一点 P0(x0,y0),列出点斜式 y−y0=k(x−x0).显然这是一个二元一次方程.
- 如果 l 的斜率不存在,则 l 为竖直线,此时 l 可以用方程 x=x0 表示.这可以看作一个关于 x,y 的二元一次方程,只是 y 的系数为 0.
证明:考虑任意二元一次方程 Ax+By+C=0(钦定 A 和 B 不同时为 0,我们认为不含未知数的等式不是方程).
- 当 B=0 时,原方程可变形为 y=−BAx−BC.这是斜截式,表示的是直线.
- 当 B=0 时,一定有 A=0.此时有 x=−AC,表示一条竖直线,显然也是直线.
根据上面两个命题,我们可以发现,任意直线都是二元一次方程,而任意二元一次方程都是直线.
我们称 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)叫做直线的 一般式方程,简称 一般式.
一般式是五种方程中唯一能表示所有直线的一种形式.
和平面的法向量含义类似,我们定义 直线的法向量 是 和直线的任一方向向量垂直的非零向量.
同一平面内,直线的法向量不唯一,是 一组无数个互相平行的向量(注意立体几何不一定).
很明显,法向量也能作为量化直线方向的工具之一,因为一组相互平行的法向量和一组相互平行的方向向量对应,从而和直线的方向一一对应.
直线 Ax+By+C=0 的一个法向量为 (A,B).
考虑在直线上任取不同的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),有 Ax1+By1+C=0 和 Ax2+By2+C=0.
将两式相减可得 A(x1−x2)+B(y1−y2)=0.这证明 (x1−x2,y1−y2)⊥(A,B).而前者为直线的一个方向向量,所以后者为直线的一个法向量.
综上我们可以根据一个方程的一般式直接写出它的法向量.如 2x−3y+6=0 的法向量是 (2,−3).
在向量中,我们学习过迅速写出一个向量的一个垂直向量的技巧:坐标的两维互换,再将其中一维坐标取反.据此,我们可以根据一条直线的法向量迅速写出它的方向向量,如上述直线的方向向量是 (3,2),再根据三种量化方向工具的转化关系,得知 k=tanα=32.
根据法向量和方向向量的关系,我们能得出法向量和两直线位置关系的关系:法向量平行且两直线不重合时,两直线平行;法向量不平行时,两直线不平行;法向量垂直时,两直线垂直.
「法向量」这个名词 不推荐在大题中使用.
点法式的内容:过定点 P(x0,y0),法向量为 (A,B) 的直线,方程可以表示为
Ax+By=Ax0+By0
原因很简单,这个方程法向量为 (A,B) 并且 (x0,y0) 满足这个方程,所以这个方程表达的就是我们想要的直线.
因为直线过 P(x0,y0),且方向向量垂直于 (A,B),
设直线上任意一点 Q(x,y),有 PQ⊥(A,B),即
A(x−x0)+B(y−y0)=0得到直线方程(不难看出其与点法式等价).
设过 (x0,y0) 的直线 l 倾斜角为 θ,含参数 t 的方程组
{x=x0+tcosθy=y0+tsinθ
满足两个条件:
- l 上任意一点 P(x,y),代入方程中的 x 与 y 后,均能解出一个 t.
- 任意 t∈R 代入方程,解得的 x 与 y 对应的 (x,y) 均为 l 上的点.
因此这个方程组同样建立了 直线上的点 与 方程的解 的一一映射,只不过需要一个参数的帮助.我们称这种方程为 参数方程,该方程为 直线的参数方程.
参数方程在大题中可以直接使用,如果不放心也可咨询老师.
这个方程还有个非常良好的性质:(x,y) 与 (x0,y0) 的距离 恰为 ∣t∣.因此当题目涉及 定直线上一动点 与 该直线上一定点 之间的距离时,使用直线参数方程可能有极大的简化运算的效果.
一个二元方程 F(x,y)=0 可以表示平面上的曲线,而 F(x,y)=0 中含有参数时,参数不同,方程导出的曲线就不同,这一簇曲线就叫做 曲线系.特别地,当方程为二元一次方程时,导出的一簇曲线为 直线系.
对于已知直线 l,设其方程为 Ax+By+C=0,对于含参数 c 的二元一次方程 Ax+By+c=0,我们限制 c 的取值范围为 c=C.那么这个含参方程可以表示 所有 与 l 平行的一组直线.我们称这个含参二元一次方程为 平行直线系.
如 3x+y−4=0 的所有平行直线可以设为 3x+y+c=0,参数取值范围 c=−4.
同理我们还有 Ax+By+C=0 的 垂直直线系 Bx−Ay+c=0,其中 c 为参数,在实数范围内任意取值.
平行直线系和垂直直线系 在大题中可以直接使用.
对于两条 相交直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和直线 l2:A2x+B2y+C2=0,含有参数 λ 的方程
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0
可以表示经过 l1 和 l2 的交点,且 不重合于 l2 的 所有 直线.
可以发现,
λ(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0
也是交点直线系,这里不能表出的直线是 l1.更普遍的说法是:交点直线系不能表示 λ 括号里对应的那个直线.
可以感性理解为,λ=0 时可以消除括号内直线的影响,但无论 λ 等于多少都无法消除括号外的那个直线的影响.
交点直线系 似乎在大题中可以直接使用,是否允许建议咨询当地老师.
证明
先证明含参方程表示的直线都满足条件,再证明满足条件的一定能被含参方程表出.
记 L(λ) 为直线 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.
l1 和 l2 的交点 (x0,y0) 满足方程组
{A1x0+B1y0+C1=0A2x0+B2y0+C2=0因此,无论 λ 取何值,(x0,y0) 也一定满足
A1x0+B1y0+C1+λ(A2x0+B2y0+C2)=0这证明了无论 λ 取何值,L(λ) 必经 l1 和 l2 的交点.
L(λ) 的法向量是 (A1+λA2,B1+λB2).假设 L(λ) 与 l2 重合,则
(A2,B2)∥(A1+λA2,B1+λB2)⟹(A1,A2)∥(B1,B2)⟹l1∥l2或l1=l2与 l1,l2 相交矛盾,因此 L(λ) 不与 l2 重合.
综上,L(λ) 表示的一定是一条经 l1 和 l2 的交点且不与 l2 重合的直线,证毕.
设 l3 是一条经 l1 与 l2 的交点且不与 l2 重合的直线,要求找到一个 λ 使得 L(λ)=l3.
上面已经证明 L(λ) 经过 l1 与 l2 的交点,因此它一定与 l3 有交点,如果 L(λ) 的方向与 l3 相同,就可让 L(λ)=l3.
想令它们方向相同,可考虑让它们的法向量平行,令 l3 法向量为 (m,n),则
(A1+λA2,B1+λB2)∥(m,n)l3 与 l2 相交,因此 l3 法向量不平行于 l2 的法向量,即 (m,n)∦(A2,B2),等价于 nA2−mB2=0.
此时
(A1+λA2,B1+λB2)∥(m,n)⟺λ=nA2−mB2mB1−nA1λ 找到,得证.
另外,λ 还是 唯一的,这还证明了 过定点的任一直线恰好对应一个参数(而不会对应多个).该结论可能在计算参数取值数量时用到.
首先我们要意识到一件事情:一条直线的直线方程可以随便做等价变形,而不改变它描述的直线.因此,上面五种直线式在一定条件下可以互相转化,如点斜式 y−1=2(x−1) 可以变形为一般式 −2x+y+1=0.
已知直线 l 经过点 P(x0,y0),斜率 k 是它的斜率,那么 x−x0y−y0=k 是 l 的方程吗?
不是.该方程表示的所有点都在 l 上,但 l 上存在一个点不满足这个方程:(x0,y0).
事实上,该方程表示的是 l 整条直线扣去 (x0,y0) 后的一个分成两段的直线.
假直线方程通常具有的特点是存在一个分式,使得直线上的某个点 (x,y) 代入假直线方程后,能让分式的分母取到 0.这样以来这个点就不能被方程表示.
我们学习了共五种直线方程,在已知量的种类不同时,选择不同的直线方程列式通常有着不同的简便程度.
- 如果可知直线 水平或竖直,直接令 y=y0 或 x=x0.
- 在已知直线上 一点和斜率 时,列 点斜式 最简单.
- 在已知直线的 两个截距 时,列 截距式 最简单.
- 在已知直线上两点时,先 用两点算出斜率,再列 点斜式 最简单.不需使用两点式.
用最简单的方式写出下面直线的方程:
- l1 过点 (4,−2),且斜率为 2.
- l2 过点 (4,−2) 和点 (−1,8).
- l3 过点 (4,0) 和 (0,8).
- l4 过点 (4,−2) 点 (4,8).
直线 l1 使用点斜式.y−(−2)=2(x−4),整理得 y=2x−10.
直线 l2 已知两点,先算斜率再点斜式.先算出斜率 −1−48−(−2)=−2,再任选一点列点斜式 y−(−2)=−2(x−4),整理得 y=−2x+6.
直线 l3 已知的两点在坐标轴上,且均不与原点重合,使用截距式.4x+8y=1.
直线 l4 已知的两点横坐标相等,不存在斜率.直接写出方程 x=4.
已知信息还可能更复杂,根据下面的例题学习:
写出过点 (5,2),且在 y 轴上的截距是 x 轴上截距 2 倍的直线方程(化为一般式形式).
我们学的方程形式中,没有直接包含【过一点】和【截距之间的倍数关系】这两个信息的方程.遇到这种情况,我们应该 根据一个信息列出一个带参的直线方程,再 利用另一个信息解出参数.
这里存在两种做法:
【点斜式】
设 y−2=k(x−5),用截距倍数关系解出参数 k.
设参数为斜率的点斜式方程时,需注意 斜率不存在 的情况.这里有 y 轴上的截距,斜率一定存在,无需讨论.
【截距式】
根据 y 轴截距是 x 轴截距的 2 倍,将 x 轴截距设为 a,列带参数 a 的截距式 ax+2ay=1.
设参数为截距的截距式方程时,注意提前讨论两种截距式不能表示的情况:
- 某个截距不存在 (水平线或竖直线).这里显然无需讨论.
- 过原点的直线.此时两个截距都为 0,确实是二倍关系,需要讨论.
上面给出了两种方案,我们应预估后续的计算量,选择更简单的一种方案.
- 第一种方案中,需先将直线的横截距和纵截距分别用带 k 的式子表示出来,然后再根据它们的倍数关系列方程.
- 第二种方案中,只需要将 (5,2) 这个点代入截距式,算 出 a 即可.
能看出来应该是第二种更简单,所以我们用第二种方案进行解答.
设所求直线为 l,则 l 显然存在截距.
当 l 过原点时,即 l 过 (0,0) 和 (5,2),可得 l 的方程为 y=52x,化为一般式为 2x−5y=0.
当 l 不过原点时,设 l 与 x 轴的截距为 a,则 l 可表示为 ax+2ay=1.
因为 (5,2) 在 l 上,有 a5+2a2=1,解得 a=6.
即 l:6x+12y=1,化为一般式得 2x+y−12=0.
因此 l 的方程为 2x−5y=0 或 2x+y−12=0.
当已知直线的斜率 k 和其它信息时,我们可以根据其有方向向量 (1,k),有法向量 (k,−1),列出含参 m 的一般式 kx−y+m=0,再利用 其它信息求解 m.
已知信息还可以是和某条直线平行或垂直,这时利用平行直线系和垂直直线系列含参方程最简单.
在 量化直线方向的工具 中讲过,求解直线位置关系或已知直线位置关系求参,一般都采用统一成斜率的方式.然而在引入法向量这第四个刻画方向的工具后,有时统一成法向量会比统一成斜率简单.具体来说:
- 任何直线都有法向量.相比斜率可能需要判断不存在,法向量无需做这种判断.
- 一般式 Ax+By+C=0 能一眼看出法向量是 (A,B).
已知 ax+(1−a)y=3 和 (a−1)x+(2a+3)y=2 两直线垂直,求 a.
将两直线变形为一般式,分别为 ax+(1−a)y−3=0 和 (a−1)x+(2a+3)y−2=0.
两直线法向量为 (a,1−a) 和 (a−1,2a+3).两直线垂直,等价于法向量垂直,等价于法向量数量积为 0,因此有 a(a−1)+(1−a)(2a+3)=0.解得 a=1 或 a=−3.
当然,当题目给出的是斜截式,点斜式之类的形式,一般就考虑统一成斜率了,因为用斜截式和点斜式表示的直线斜率一定存在,而且直接暴露出来了.
另外,引入直线方程后,平行的验重只需判断方程是否等价.
直线 (m−1)x+(2m−1)y=m−5 在 m 取何值时,都恒过一定点,求该点坐标.
设定点坐标为 (x0,y0),则 (m−1)x0+(2m−1)y0=m−5 在 m 取何值时都恒成立(对应 (x0,y0) 总是在直线上).
将该方程变形为 (x0+2y0−1)m+(5−x0−y0)=0.m 取何值该方程均恒成立,等价于 x0+2y0−1=0 且 5−x0−y0=0,解得 {x0=9y0=−4.
所以方程恒过 (9,−4).
方程恒成立 解决直线过定点的步骤是:
- 将直线方程重新看作 x,y 为参数,原先的参数 m 为未知元 的方程,并以 m 为主体整理方程.
- 则求解直线所过的定点,可以视作研究参数 x,y 为何值时,未知元 m 如何变化方程都恒成立.
- 使用恒成立方程的知识解答.
不是所有含参直线都过定点.如某直线的平行直线系(但砍掉参数限制) 2x+3y+m=0,显然它不过定点.
将它整理为 m 的方程 m+(2x+3y)=0,一次项系数恒为 1,做不到恒成立.
上述做法把直线方程变形为这样的形式:
(x+2y−1)m+(5−x−y)=0
可以视作 x+2y−1=0 和 5−x−y=0 的交点直线系.根据交点直线系的知识有如下结论:
- 原含参直线方程本质上是一个交点直线系.
- 含参直线所过定点是 x+2y−1=0 与 5−x−y=0 的交点 (9,−4).
- m 取遍所有实数时,含参直线能取到的范围是过交点 (9,−4) 且不与 x+2y−1=0 重合的所有直线.
可以看到,运用 交点直线系,不仅证明并求出了直线所过的定点,还证明了 随着参数的变动,过定点的无数直线中,只有一条取不到.
换句话说,随着参数的变动,直线 几乎可以 绕着定点 旋转到任一直线,除了某一条直线取不到.
上面这个结论的信息量很大,方程恒成立却无法给出.因此笔者更推荐 交点直线系 的理解.
设题目中直线方程中的参数为 m,当直线方程不仅有 m 项,还有 m2 项 时,方程应变形为 am2+bm+c=0,其对 m 恒成立等价 a=0 且 b=0 且 c=0.
由于 m2 项的存在,这种含参方程无法拆成交点直线系,必须用方程恒成立的角度理解.
但值得强调的是,这样的情况很少见,大多数题目中的直线含参方程,其中的参数都以一次项出现.
见到一个 含参直线方程,就试图将其 拆成交点直线系,分析其 所过定点 与 不能取到的直线,这套流程一定要熟悉,敏感.
读者阅读题干时,但凡见到含参的直线方程就应该想到这套方法.
读者阅读题干时,但凡见到含参的直线方程就应该想到这套方法.
读者阅读题干时,但凡见到含参的直线方程就应该想到这套方法.
已知点 (a,b) 在直线 3x+2y+1=0 上,求直线 ax+by+2=0 的必经点.
前面条件相当于给出 3a+2b+1=0.可以考虑将条件等价为 b=−23a+1 从而消元 b,只留下参数 a,再采用先前的做法.
但有更简单的做法:考虑题目给出的实际是 3a+2b 为定值 −1,我们可以得出 6a+4b+2 为定值 0,进而直接得出定点为 (6,4).
当有百分之百把握所给的含参直线必过一定点时,可以采用特殊值做法.
直线 (m−1)x+(2m−1)y=m−5 在 m 取何值时,都恒过一定点,求该点坐标.
令 m=1,直线为 y=−4.
令 m=21,直线为 −21x=−29,即 x=9.
显然含参直线所过的定点应该同时在 x=9 和 y=−4 上,因此有 直线经过 (9,−4).
一般分别让 m 取让 x 的系数为 0 和 y 的系数为 0 的两种值,使得直线分别竖直和水平,直接锁定交点.
这种做法必须保证含参直线确定过一定点.一般来说就是选填中题目直接询问直线所过定点时可以使用.
大题中使用可能有扣分风险.题目即使询问了「直线所过的定点坐标是什么?」,也不暗含「直线必须过一定点」这个条件(数学大题上的问题是被认为不暗含条件的).
符号化表述:设一定点 P,一含参直线为 l,求 P 到 l 距离的值域.
不妨约定:l 已经处理成两条定直线 l1 和 l2 的交点直线系的形式,设 l1 和 l2 的交点为 Q,l2 是被参数包裹,l 无法取到的那条直线.
先 假设 l 可以取到 l2,那么现在 l 相当于一个 可以围绕点 Q 旋转的任意直线.设 P 到 l 的距离为 d,则:
- 当且仅当 l 旋转到 P 在 l 上,即 l=PQ 时,d=0.其余情况都有 d>0;
- 当且仅当 l 旋转到 l⊥PQ 时,d=∣PQ∣,其余情况都有 d<∣PQ∣.
- 对于任意的 d∈(0,∣PQ∣),我们都能找到两个满足条件的 l(考虑以 P 为圆心作半径为 d 的圆,过 Q 可以作圆的两条切线,都是满足条件的 l).
综上不难发现 d 的值域是 [0,∣PQ∣].
但 事实上 l 取不到 l2.那么:
- 当 l2=PQ 时,l 取不到 PQ,此时 d 取不到 0,d 的值域是 (0,∣PQ∣].
- 当 l2⊥PQ 时,l 取不到那个和 PQ 垂直的直线,此时 d 取不到 ∣PQ∣,值域是 [0,∣PQ∣).
- 其它情况下,由于任意 d∈(0,∣PQ∣) 都能找到两个满足条件的 l,即使有一条被禁用,另一条还能使用,因此 d 的值域仍为 [0,∣PQ∣].
求点 P(−2,0) 到直线 l:(1+3λ)x+(1+2λ)y−(2+5λ)=0 的距离最大值.
直线 l 方程变形为 λ(3x+2y−5)+(x+y−2)=0,交点直线系解得定点坐标为 (1,1).设该定点为 Q.
PQ 方向向量为 (3,1),l 不能取到的直线 3x+2y−5=0 法向量为 (3,2),不平行于 (3,1),与 PQ 不垂直.因此 PQ⊥l 可以取到.
那么距离最大值就是 PQ 的距离,答案为 10.
求点 P(−2,2) 到直线 l:(2+λ)x−(1+λ)y−4λ−6=0 的距离的取值范围.
直线 l 方程变形为 λ(x−y−4)+2x−y−6=0,交点直线系解得定点坐标为 (2,−2).设该定点为 Q.
PQ 的方向向量为 (1,−1).l 不能取到的直线 x−y−4=0 法向量为 (1,−1).法向量和 PQ 方向向量平行,也即 l 不能取到的直线与 PQ 垂直,那么最大值取不到 ∣PQ∣.
计算 ∣PQ∣=42.所以距离的值域为 [0,42).
最后感受一下朴素做法——将距离表示为一个 λ 为自变量的函数,求函数值域.需要用到点到直线的距离公式,会在下个页面介绍.
设 d(λ) 为所求距离,则:
d(λ)=(λ+2)2+(λ+1)2∣−2(λ+2)−2(λ+1)−4λ−6∣=2λ2+6λ+5∣8λ+12∣=2λ2+6λ+54(2λ+3)2=42λ2+6λ+54λ2+12λ+9=42−2λ2+6λ+51令 f(λ)=2λ2+6λ+5,不难发现 f(λ) 的值域为 [21,+∞).
所以 d(λ) 的值域为 [0,42).
朴素做法的计算量显然多于数形结合.