直线的方程

限于篇幅原因，笔者将不再详细介绍 用方程表示曲线 的定义，只做一句话的概括：

在平面上，曲线 $\Gamma$ 可视作点集 $S$．一个只含有 $x$，$y$ 两个未知元的方程 $F(x, y) = 0$ 的解集为 $T$．注意到 $S$ 与 $T$ 均能刻画为 二元有序数对 的集合（$S$ 中元素刻画为点的坐标形态，$T$ 中元素将解 $\bcs x = x_0 \\ y = y_0 \ecs$ 刻画为 $(x_0, y_0)$），当 $S = T$ 时，我们称 $F(x, y) = 0$ 为曲线 $\Gamma$ 的方程．

直线方程的形式

竖直线和水平线

为了更简洁地描述，本文定义 竖直线 和 水平线 两个概念．

竖直线 指平行于 $y$ 轴的直线．如果已知竖直线 $l$ 经过点 $P_0(x_0, y_0)$，我们可以断言 $l$ 的方程是 $x = x_0$．

水平线 指平行于 $x$ 轴的直线．如果水平线 $l$ 经过点 $P_0(x_0, y_0)$，可以断言 $l$ 的方程是 $y = y_0$．

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点斜式

一个点和一个方向确定一条直线．如果已知直线 $l$ 经过点 $P_0(x_0, y_0)$，且其斜率为 $k$，$l$ 就确定下来了．事实上，$l$ 的方程可以表示为

$$y - y_0 = k(x - x_0)$$

这个方程由直线上一点以及该直线斜率确定，我们称它为直线的 点斜式方程，简称 点斜式．

斜率不存在 的直线 无法用斜截式表示．这一点在列斜率为参数的直线方程时需注意．

举例

设直线 $l$ 是一条经过定点 $(3, 5)$ 的直线，直接设成 $y - 5 = k(x - 3)$ 的带参（$k$）方程是有缺陷的，因为当 $l$ 的倾斜角 $\alpha = \dfrac \pi 2$ 时，斜率 $k$ 不存在，点斜式不能表示 $l$，也不会有任何一个 $k$ 满足导出的方程对应 $l$．

解决办法就是分类讨论．
当 $l$ 的斜率存在时，可以将它设为 $y - 5 = k(x - 3)$ 的带参方程；而如果 $l$ 的斜率不存在时，它就是一条经过 $(3, 5)$ 的竖直线，即 $x = 3$．

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直线的截距

对于直线 $l$，

• 与 $x$ 轴的交点的 横坐标 称作 $l$ 的 横截距．
• 与 $y$ 轴的交点的 纵坐标 称作 $l$ 的 纵截距．
• 如果 $l$ 和某个坐标轴 平行 或 重合，则该坐标轴对应的截距不存在．

注意：截距的本质是横坐标或者纵坐标，是 可正可负可零 的，取值范围为 全体实数．

斜截式

直线的斜截式是点斜式中，定点位于 $y$ 轴上 的特殊情形．
若斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过点 $P_0(0, b)$，其有点斜式方程

$$y - b = k(x - 0)$$

可以整理为

$$y = kx + b$$

很明显，$b$ 就是直线的纵截距．因此 $y = kx + b$ 这个形式称作直线的 斜截式方程（斜率-截距式），简称 斜截式．

与点斜式相同，斜率不存在 的直线 无法用斜截式表示．

两点式

如果已知直线 $l$ 经过不重合的两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$，且 $x_1 \ne x_2$，$y_1 \ne y_2$．则 $l$ 的方程为

$$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

这个方程由直线 $l$ 经过的两点确定．称作 两点式方程，简称 两点式．

这个方程形式复杂，并且限制较多：它要求 $l$ 既不能是横线，也不能是竖线，因此解题时基本无用，可以忽略．

给定直线上两点求直线方程的情形中，可以直接根据两点算出斜率，然后选择任意一点和斜率列出点斜式方程，这样比两点式要简单．

截距式

截距式 是 两点式 的 $P_1$，$P_2$ 分别在 $x$ 轴，$y$ 轴上的情形．

设 $P_1(a, 0)$，$P_2(0, b)$，要求 $a \ne 0$ 且 $b \ne 0$（这个要求和两点式的 $x_1 \ne x_2$ 且 $y_1 \ne y_2$ 相吻合）．

根据两点式有

$$\dfrac{y - 0}{b - 0} = \dfrac{x - a}{0 - a}$$

整理可得

$$\dfrac x a + \dfrac y b = 1$$

该方程由直线 $l$ 的纵截距和横截距确定，因此称为 截距式方程，简称 截距式．

虽然两点式没用，但其特殊情形截距式形式简洁，在适当的场合下使用，可以极大地简化计算过程．因此，截距式建议读者掌握．

截距式 能且只能 表示同时满足以下两个要求的直线：

• 必须同时有纵截距和横截距，即 不能为水平线或竖直线．
• 纵截距和横截距必须均不为 $0$，即 直线不能经过原点．

用含参截距式表示直线时，上面两种截距式不能表示的直线可能需要提前分类讨论．

一般式

平面直角坐标系中的直线和二元一次方程有非常良好的对应关系．下引出两个命题并证明．

命题一

平面直角坐标系中任意一条直线都能用一个二元一次方程表示．

命题一证明

考虑任意直线 $l$．

• 如果 $l$ 的斜率存在且为 $k$，可以在 $l$ 上任取一点 $P_0(x_0, y_0)$，列出点斜式 $y - y_0 = k(x - x_0)$．显然这是一个二元一次方程．
• 如果 $l$ 的斜率不存在，则 $l$ 为竖直线，此时 $l$ 可以用方程 $x = x_0$ 表示．这可以看作一个关于 $x$，$y$ 的二元一次方程，只是 $y$ 的系数为 $0$．

命题二

任意一个二元一次方程表示的都是一条直线．

命题二证明

证明：考虑任意二元一次方程 $Ax +By +C = 0$（钦定 $A$ 和 $B$ 不同时为 $0$，我们认为不含未知数的等式不是方程）．

• 当 $B \ne 0$ 时，原方程可变形为 $y = - \dfrac A B x - \dfrac C B$．这是斜截式，表示的是直线．
• 当 $B = 0$ 时，一定有 $A \ne 0$．此时有 $x = - \dfrac C A$，表示一条竖直线，显然也是直线．

根据上面两个命题，我们可以发现：任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示；任意一个二元一次方程在平面直角坐标系中表示一条直线．

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我们称 $Ax + By + C = 0$（$A$，$B$ 不同时为 $0$）叫做直线的 一般式方程，简称 一般式．

一般式是五种方程中唯一能表示所有直线的一种形式．

横截式

提示

横截式不是课本内容，但在以后的圆锥曲线大题中会有用处，且 可以在大题中直接使用．

设直线 $l$ 过定点 $P_0(a, 0)$．$l$ 可以表示为

$$x = my + a$$

很明显，无论 $m$ 取值如何，$(a, 0)$ 始终是这个方程的一个解，即直线过 $(a, 0)$．

• 当 $m = 0$ 时，上述方程表示 $x = a$，为 竖直线．
• 当 $m \ne 0$ 时，有 $y = \df 1 m x + \df a m$，可知斜率为 $\df 1 m$．因此，对于斜率为 $\* k \ne 0$ 的任意直线，$m = \df 1 k$ 时即能表示目标直线．

斜率 $k = 0$ 的直线 无法用横截式表示，需要在水平线处分类讨论．

直线的法向量

和平面的法向量含义类似，我们定义 直线的法向量 是 和直线的任一方向向量垂直的非零向量．

同一平面内，直线的法向量不唯一，是 一组无数个互相平行的向量（注意立体几何不一定）．

很明显，法向量也能作为量化直线方向的工具之一，因为一组相互平行的法向量和一组相互平行的方向向量对应，从而和直线的方向一一对应．

命题

直线 $Ax +By + C = 0$ 的一个法向量为 $(A, B)$．

证明

考虑在直线上任取不同的两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$，有 $Ax_1 +By_1 +C = 0$ 和 $Ax_2 +By_2 + C = 0$．

将两式相减可得 $A(x_1 - x_2) + B(y_1 - y_2) = 0$．这证明 $(x_1 - x_2, y_1 - y_2) \perp (A, B)$．而前者为直线的一个方向向量，所以后者为直线的一个法向量．

综上我们可以根据一个方程的一般式直接写出它的法向量．如 $2x - 3y + 6 = 0$ 的法向量是 $(2, -3)$．

在向量中，我们学习过迅速写出一个向量的一个垂直向量的技巧：坐标的两维互换，再将其中一维的坐标取反．据此，我们可以根据一条直线的法向量迅速写出它的方向向量，如上述直线的方向向量是 $(3, 2)$，再根据三种量化方向工具的转化关系，得知 $k = \tan \alpha = \dfrac 2 3$．

根据法向量和方向向量的关系，我们能得出法向量和两直线位置关系的关系：法向量平行且两直线不重合时，两直线平行；法向量不平行时，两直线不平行；法向量垂直时，两直线垂直．

「法向量」这个名词 不推荐在大题中使用．

直线的点法式

点法式的内容：过定点 $P(x_0, y_0)$，法向量为 $(A, B)$ 的直线，方程可以表示为

$$Ax + By = Ax_0 + By_0$$

原因很简单，这个方程法向量为 $(A, B)$ 并且 $(x_0, y_0)$ 满足这个方程，所以这个方程表达的就是我们想要的直线．

点法式的大题书写策略

因为直线过 $P(x_0, y_0)$，且方向向量垂直于 $(A, B)$，

设直线上任意一点 $Q(x, y)$，有 $\overrightarrow{PQ} \perp (A, B)$，即

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$$

得到直线方程（不难看出其与点法式等价）．

直线的参数方程

设过 $(x_0, y_0)$ 的直线 $l$ 倾斜角为 $\theta$，含参数 $t$ 的方程组

$$\bcs x = x_0 + t\cos \theta \\ y = y_0 + t \sin \theta \ecs$$

满足两个条件：

• $l$ 上任意一点 $P(x, y)$，代入方程中的 $x$ 与 $y$ 后，均能解出一个 $t$．
• 任意 $t \in \R$ 代入方程，解得的 $x$ 与 $y$ 对应的 $(x, y)$ 均为 $l$ 上的点．

因此这个方程组同样建立了 直线上的点 与 方程的解 的一一映射，只不过需要一个参数的帮助．我们称这种方程为 参数方程，该方程为 直线的参数方程．

参数方程在大题中可以直接使用，如果不放心也可咨询老师．

这个方程还有个非常良好的性质：$(x, y)$ 与 $(x_0, y_0)$ 的距离 恰为 $\* |t|$．因此当题目涉及 定直线上一动点 与 该直线上一定点 之间的距离时，使用直线参数方程可能有极大的简化运算的效果．

平行直线系、垂直直线系

一个二元方程 $F(x, y) = 0$ 可以表示平面上的曲线，而 $F(x, y) = 0$ 中含有参数时，参数不同，方程导出的曲线就不同，这一簇曲线就叫做 曲线系．特别地，当方程为二元一次方程时，导出的一簇曲线为 直线系．

对于已知直线 $l$，设其方程为 $Ax+ By +C = 0$，对于含参数 $c$ 的二元一次方程 $Ax +By + c = 0$，我们限制 $c$ 的取值范围为 $c \ne C$．那么这个含参方程可以表示 所有 与 $l$ 平行的一组直线．我们称这个含参二元一次方程为 平行直线系．

如 $3x + y - 4 = 0$ 的所有平行直线可以设为 $3x + y + c = 0$，参数取值范围 $c \ne -4$．

同理我们还有 $Ax + By + C = 0$ 的 垂直直线系 $Bx - Ay + c = 0$，其中 $c$ 为参数，在实数范围内任意取值．

平行直线系和垂直直线系 在大题中可以直接使用．

交点直线系

对于两条 相交直线 $l_1$：$A_1x + B_1y + C_1 = 0$ 和直线 $l_2$：$A_2x + B_2y + C_2 = 0$，含有参数 $\lambda$ 的方程

$$A_1x + B_1 y+ C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0$$

可以表示经过 $l_1$ 和 $l_2$ 的交点，且 不重合于 $\boldsymbol{l_2}$ 的 所有 直线．

可以发现，

$$\lambda(A_1 x + B_1 y + C_1) + (A_2 x +B_2 y + C_2) = 0$$

也是交点直线系，这里不能表出的直线是 $l_1$．更普遍的说法是：交点直线系不能表示 $\lambda$ 括号里对应的那个直线．

可以感性理解为，$\lambda = 0$ 时可以消除括号内直线的影响，但无论 $\lambda$ 等于多少都无法消除括号外的那个直线的影响．

交点直线系 似乎在大题中可以直接使用，是否允许建议咨询当地老师．

证明

先证明含参方程表示的直线都满足条件，再证明满足条件的一定能被含参方程表出．

记 $L(\lambda)$ 为直线 $A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2 x + B_2 y + C_2) = 0$．

子命题一证明

$l_1$ 和 $l_2$ 的交点 $(x_0, y_0)$ 满足方程组

$$\bcs A_1x_0 +B_1y_0 + C_1 = 0 \\ A_2x_0 + B_2y_0 + C_2 = 0 \ecs$$

因此，无论 $\lambda$ 取何值，$(x_0, y_0)$ 也一定满足

$$A_1x_0 + B_1 y_0+ C_1 + \lambda(A_2x_0 + B_2y_0 + C_2) = 0$$

这证明了无论 $\lambda$ 取何值，$L(\lambda)$ 必经 $l_1$ 和 $l_2$ 的交点．

$L(\lambda)$ 的法向量是 $(A_1 + \lambda A_2, B_1 + \lambda B_2)$．假设 $L(\lambda)$ 与 $l_2$ 重合，则

$$(A_2, B_2) \parallel (A_1 + \lambda A_2, B_1 + \lambda B_2) \implies (A_1, A_2) \parallel (B_1, B_2) \implies l_1 \parallel l_2 或 l_1 = l_2$$

与 $l_1$，$l_2$ 相交矛盾，因此 $L(\lambda)$ 不与 $l_2$ 重合．

综上，$L(\lambda)$ 表示的一定是一条经 $l_1$ 和 $l_2$ 的交点且不与 $l_2$ 重合的直线，证毕．

子命题二证明

设 $l_3$ 是一条经 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点且不与 $l_2$ 重合的直线，要求找到一个 $\lambda$ 使得 $L(\lambda) = l_3$．

上面已经证明 $L(\lambda)$ 经过 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点，因此它一定与 $l_3$ 有交点，如果 $L(\lambda)$ 的方向与 $l_3$ 相同，就可让 $L(\lambda) = l_3$．

想令它们方向相同，可考虑让它们的法向量平行，令 $l_3$ 法向量为 $(m, n)$，则

$$(A_1 + \lambda A_2, B_1 + \lambda B_2) \parallel (m, n)$$

$l_3$ 与 $l_2$ 相交，因此 $l_3$ 法向量不平行于 $l_2$ 的法向量，即 $(m, n) \nparallel (A_2, B_2)$，等价于 $nA_2 - mB_2 \ne 0$．

此时

$$(A_1 + \lambda A_2, B_1 + \lambda B_2) \parallel (m, n) \iff \lambda = \dfrac{mB_1 - nA_1}{nA_2 - mB_2}$$

$\lambda$ 找到，得证．

另外，$\lambda$ 还是 唯一的，这还证明了 过定点的任一直线恰好对应一个参数（而不会对应多个）．该结论可能在计算参数取值数量时用到．

直线方程题型

首先我们要意识到一件事情：一条直线的直线方程可以随便做等价变形，而不改变它描述的直线．因此，上面五种直线式在一定条件下可以互相转化，如点斜式 $y - 1 = 2(x - 1)$ 可以变形为一般式 $-2x + y + 1 = 0$．

鉴别直线方程

例题 2.1

已知直线 $l$ 经过点 $P(x_0, y_0)$，斜率 $k$ 是它的斜率，那么 $\dfrac{y - y_0}{x - x_0} = k$ 是 $l$ 的方程吗？

例题 2.1 解答

不是．该方程表示的所有点都在 $l$ 上，但 $l$ 上存在一个点不满足这个方程：$(x_0, y_0)$．

事实上，该方程表示的是 $l$ 整条直线扣去 $(x_0, y_0)$ 后的一个分成两段的直线．

假直线方程通常具有的特点是存在一个分式，使得直线上的某个点 $(x, y)$ 代入假直线方程后，能让分式的分母取到 $0$．这样以来这个点就不能被方程表示．

根据已知量特征写方程

我们学习了共五种直线方程，在已知量的种类不同时，选择不同的直线方程列式通常有着不同的简便程度．

• 如果可知直线 水平或竖直，直接令 $y = y_0$ 或 $x = x_0$．
• 在已知直线上 一点和斜率 时，列 点斜式 最简单．
• 在已知直线的 两个截距 时，列 截距式 最简单．
• 在已知直线上两点时，先 用两点算出斜率，再列 点斜式 最简单．不需使用两点式．

例题 2.2.1

用最简单的方式写出下面直线的方程：

• $l_1$ 过点 $(4, -2)$，且斜率为 $2$．
• $l_2$ 过点 $(4, -2)$ 和点 $(-1, 8)$．
• $l_3$ 过点 $(4, 0)$ 和 $(0, 8)$．
• $l_4$ 过点 $(4, -2)$ 点 $(4, 8)$．

例题 2.2.1 解答

直线 $l_1$ 使用点斜式．$y - (-2) = 2(x - 4)$，整理得 $y = 2x - 10$．

直线 $l_2$ 已知两点，先算斜率再点斜式．先算出斜率 $\dfrac{8 - (-2)}{-1 - 4} = -2$，再任选一点列点斜式 $y - (-2) = -2(x - 4)$，整理得 $y = -2x +6$．

直线 $l_3$ 已知的两点在坐标轴上，且均不与原点重合，使用截距式．$\dfrac x 4 + \dfrac y 8 = 1$．

直线 $l_4$ 已知的两点横坐标相等，不存在斜率．直接写出方程 $x = 4$．

已知信息还可能更复杂，根据下面的例题学习：

例题 2.2.2

写出过点 $(5, 2)$，且在 $y$ 轴上的截距是 $x$ 轴上截距 $2$ 倍的直线方程（化为一般式形式）．

我们学的方程形式中，没有直接包含【过一点】和【截距之间的倍数关系】这两个信息的方程．遇到这种情况，我们应该 根据一个信息列出一个带参的直线方程，再利用另一个信息解出参数．

这里存在两种做法：

【点斜式】

设 $y - 2 = k(x - 5)$，用截距倍数关系解出参数 $k$．

设参数为斜率的点斜式方程时，需注意 斜率不存在 的情况．这里有 $y$ 轴上的截距，斜率一定存在，无需讨论．

【截距式】

根据 $y$ 轴截距是 $x$ 轴截距的 $2$ 倍，将 $x$ 轴截距设为 $a$，列带参数 $a$ 的截距式 $\dfrac x a + \dfrac y{2a} = 1$．

设参数为截距的截距式方程时，注意提前讨论两种截距式不能表示的情况：

• 某个截距不存在 （水平线或竖直线）．这里显然无需讨论．
• 过原点的直线．此时两个截距都为 $0$，确实是二倍关系，需要讨论．

上面给出了两种方案，我们应预估后续的计算量，选择更简单的一种方案．

• 第一种方案中，需先将直线的横截距和纵截距分别用带 $k$ 的式子表示出来，然后再根据它们的倍数关系列方程．
• 第二种方案中，只需要将 $(5, 2)$ 这个点代入截距式，算出 $a$ 即可．

能看出来应该是第二种更简单，所以我们用第二种方案进行解答．

例题 2.2.2 解答

设所求直线为 $l$，则 $l$ 显然存在截距．

当 $l$ 过原点时，即 $l$ 过 $(0, 0)$ 和 $(5, 2)$，可得 $l$ 的方程为 $y = \dfrac 2 5 x$，化为一般式为 $2x - 5y = 0$．

当 $l$ 不过原点时，设 $l$ 与 $x$ 轴的截距为 $a$，则 $l$ 可表示为 $\dfrac x a + \dfrac y{2a} = 1$．

因为 $(5, 2)$ 在 $l$ 上，有 $\dfrac 5 a + \dfrac 2{2a} = 1$，解得 $a = 6$．

即 $l \colon \df x 6 + \df y{12} = 1$，化为一般式得 $2x + y - 12 = 0$．

因此 $l$ 的方程为 $2x - 5y = 0$ 或 $2x + y - 12 = 0$．

当已知直线的斜率 $k$ 和其它信息时，我们可以根据其有方向向量 $(1, k)$，有法向量 $(k, -1)$，列出含参 $m$ 的一般式 $kx - y + m = 0$，再利用其它信息求解 $m$．

已知信息还可以是和某条直线平行或垂直，这时利用平行直线系和垂直直线系列含参方程最简单．

法向量求解直线位置关系 / 已知直线位置关系用法向量求参数

在 量化直线方向的工具 中讲过，求解直线位置关系或已知直线位置关系求参，一般都采用统一成斜率的方式．然而在引入法向量这第四个刻画方向的工具后，有时统一成法向量会比统一成斜率简单．具体来说：

• 任何直线都有法向量．相比斜率可能需要判断不存在，法向量无需做这种判断．
• 一般式 $Ax + By + C = 0$ 能一眼看出法向量是 $(A,B)$．

例题 2.3

已知 $ax + (1-a)y = 3$ 和 $(a-1)x + (2a + 3)y = 2$ 两直线垂直，求 $a$．

例题 2.3 解答

将两直线变形为一般式，分别为 $ax + (1-a)y -3 = 0$ 和 $(a - 1)x + (2a + 3)y - 2 = 0$．

两直线法向量为 $(a, 1 - a)$ 和 $(a - 1, 2a + 3)$．两直线垂直，等价于法向量垂直，等价于法向量数量积为 $0$，因此有 $a(a - 1) + (1 - a)(2a + 3) = 0$．解得 $a = 1$ 或 $a = -3$．

当然，当题目给出的是斜截式，点斜式之类的形式，一般就考虑统一成斜率了，因为用斜截式和点斜式表示的直线斜率一定存在，而且直接暴露出来了．

另外，引入直线方程后，平行的验重只需判断方程是否等价．

含参直线过定点

方程恒成立角度

例题 2.4.1

直线 $(m-1)x + (2m-1)y = m - 5$ 在 $m$ 取何值时，都恒过一定点，求该点坐标．

例题 2.4.1 解答

设定点坐标为 $(x_0, y_0)$，则 $(m - 1)x_0 + (2m - 1)y_0 = m - 5$ 在 $m$ 取何值时都恒成立（对应 $(x_0, y_0)$ 总是在直线上）．

将该方程变形为 $(x_0 + 2y_0 - 1)m + (5 - x_0 - y_0) = 0$．$m$ 取何值该方程均恒成立，等价于 $x_0 + 2y_0 - 1 = 0$ 且 $5 - x_0 - y_0 = 0$，解得 $\begin{cases}x_0 = 9\\y_0 = -4\end{cases}$．

所以方程恒过 $(9, -4)$．

方程恒成立 解决直线过定点的步骤是：

• 将直线方程重新看作 $x$，$y$ 为参数，原先的参数 $m$ 为未知元 的方程，并以 $m$ 为主体整理方程．
• 则求解直线所过的定点，可以视作研究参数 $x$，$y$ 为何值时，未知元 $m$ 如何变化方程都恒成立．
• 使用恒成立方程的知识解答．

不是所有含参直线都过定点．如某直线的平行直线系（但砍掉参数限制） $2x + 3y +m = 0$，显然它不过定点．

将它整理为 $m$ 的方程 $m + (2x + 3y) = 0$，一次项系数恒为 $1$，做不到恒成立．

交点直线系角度

上述做法把直线方程变形为这样的形式：

$$(x + 2y - 1)m + (5 - x - y) = 0$$

可以视作 $x + 2y - 1 = 0$ 和 $5 - x - y = 0$ 的交点直线系．根据交点直线系的知识有如下结论：

• 原含参直线方程本质上是一个交点直线系．
• 含参直线所过定点是 $x + 2y - 1 = 0$ 与 $5 - x - y = 0$ 的交点 $(9, -4)$．
• $m$ 取遍所有实数时，含参直线能取到的范围是过交点 $(9, -4)$ 且不与 $x + 2y - 1= 0$ 重合的所有直线．

可以看到，运用 交点直线系，不仅证明并求出了直线所过的定点，还证明了 随着参数的变动，过定点的无数直线中，只有一条取不到．

换句话说，随着参数的变动，直线 几乎可以 绕着定点 旋转到任一直线，除了某一条直线取不到．

上面这个结论的信息量很大，方程恒成立却无法给出．因此笔者更推荐 交点直线系 的理解．

设题目中直线方程中的参数为 $m$，当直线方程不仅有 $m$ 项，还有 $m^2$ 项 时，方程应变形为 $am^2 + bm + c = 0$，其对 $m$ 恒成立等价 $a = 0$ 且 $b = 0$ 且 $c = 0$．

由于 $m^2$ 项的存在，这种含参方程无法拆成交点直线系，必须用方程恒成立的角度理解．

但值得强调的是，这样的情况很少见，大多数题目中的直线含参方程，其中的参数都以一次项出现．

思想重要性提示

见到一个 含参直线方程，就试图将其 拆成交点直线系，分析其 所过定点 与 不能取到的直线，这套流程一定要熟悉，敏感．

读者阅读题干时，但凡见到含参的直线方程就应该想到这套方法．

读者阅读题干时，但凡见到含参的直线方程就应该想到这套方法．

读者阅读题干时，但凡见到含参的直线方程就应该想到这套方法．

特殊情况 1

例题 2.4.2

已知点 $(a, b)$ 在直线 $3x + 2y +1 = 0$ 上，求直线 $ax + by + 2 = 0$ 的必经点．

例题 2.4.2 解答

前面条件相当于给出 $3a + 2b + 1 = 0$．可以考虑将条件等价为 $b = -\dfrac{3a + 1}{2}$ 从而消元 $b$，只留下参数 $a$，再采用先前的做法．

但有更简单的做法：考虑题目给出的实际是 $3a + 2b$ 为定值 $-1$，我们可以得出 $6a + 4b + 2$ 为定值 $0$，进而直接得出定点为 $(6, 4)$．

特殊情况 2

当有百分之百把握所给的含参直线必过一定点时，可以采用特殊值做法．

例题 2.4.1

直线 $(m-1)x + (2m-1)y = m - 5$ 在 $m$ 取何值时，都恒过一定点，求该点坐标．

例题 2.4.1 特殊值做法解答

令 $m = 1$，直线为 $y = -4$．

令 $m = \dfrac 1 2$，直线为 $-\dfrac{1}2x = -\dfrac 9 2$，即 $x = 9$．

显然含参直线所过的定点应该同时在 $x = 9$ 和 $y = -4$ 上，因此有直线经过 $(9, -4)$．

一般分别让 $m$ 取让 $x$ 的系数为 $0$ 和 $y$ 的系数为 $0$ 的两种值，使得直线分别竖直和水平，直接锁定交点．

这种做法必须保证含参直线确定过一定点．一般来说就是选填中题目直接询问直线所过定点时可以使用．

大题中使用可能有扣分风险．题目即使询问了「直线所过的定点坐标是什么？」，也不暗含「直线必须过一定点」这个条件（数学大题上的问题是被认为不暗含条件的）．

一定点和过某另一定点的含参直线距离值域

符号化表述：设一定点 $P$，一含参直线为 $l$，求 $P$ 到 $l$ 距离的值域．

不妨约定：$l$ 已经处理成两条定直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的交点直线系的形式，设 $l_1$ 和 $l_2$ 的交点为 $Q$，$l_2$ 是被参数包裹，$l$ 无法取到的那条直线．

先 假设 $l$ 可以取到 $l_2$，那么现在 $l$ 相当于一个 可以围绕点 $Q$ 旋转的任意直线．设 $P$ 到 $l$ 的距离为 $d$，则：

• 当且仅当 $l$ 旋转到 $P$ 在 $l$ 上，即 $l = PQ$ 时，$d = 0$．其余情况都有 $d > 0$；
• 当且仅当 $l$ 旋转到 $l \perp PQ$ 时，$d = \lv PQ\rv$，其余情况都有 $d < \lv PQ\rv$．
• 对于任意的 $d \in (0, \lv PQ\rv)$，我们都能找到两个满足条件的 $l$（考虑以 $P$ 为圆心作半径为 $d$ 的圆，过 $Q$ 可以作圆的两条切线，都是满足条件的 $l$）．

综上不难发现 $d$ 的值域是 $[0, \lv PQ\rv]$．

但 事实上 $l$ 取不到 $l_2$．那么：

• 当 $l_2 = PQ$ 时，$l$ 取不到 $PQ$，此时 $d$ 取不到 $0$，$d$ 的值域是 $(0, \lv PQ\rv]$．
• 当 $l_2 \perp PQ$ 时，$l$ 取不到那个和 $PQ$ 垂直的直线，此时 $d$ 取不到 $\lv PQ\rv$，值域是 $[0, \lv PQ\rv)$．
• 其它情况下，由于任意 $d \in (0, \lv PQ\rv)$ 都能找到两个满足条件的 $l$，即使有一条被禁用，另一条还能使用，因此 $d$ 的值域仍为 $[0, \lv PQ\rv]$．

例题 2.5.1

求点 $P(-2, 0)$ 到直线 $l$：$(1 + 3\lambda)x + (1 + 2\lambda)y - (2 + 5\lambda) = 0$ 的距离最大值．

例题 2.5.1 解答

直线 $l$ 方程变形为 $\lambda(3x + 2y - 5) + (x+ y - 2) = 0$，交点直线系解得定点坐标为 $(1, 1)$．设该定点为 $Q$．

$PQ$ 方向向量为 $(3, 1)$，$l$ 不能取到的直线 $3x + 2y - 5 = 0$ 法向量为 $(3, 2)$，不平行于 $(3, 1)$，与 $PQ$ 不垂直．因此 $PQ \perp l$ 可以取到．

那么距离最大值就是 $PQ$ 的距离，答案为 $\sqrt{10}$．

例题 2.5.2

求点 $P(-2, 2)$ 到直线 $l$：$(2 + \lambda)x - (1 + \lambda)y - 4 \lambda - 6 = 0$ 的距离的取值范围．

例题 2.5.2 解答

直线 $l$ 方程变形为 $\lambda(x - y - 4) + 2x - y - 6 = 0$，交点直线系解得定点坐标为 $(2, -2)$．设该定点为 $Q$．

$PQ$ 的方向向量为 $(1, -1)$．$l$ 不能取到的直线 $x - y - 4 = 0$ 法向量为 $(1, -1)$．法向量和 $PQ$ 方向向量平行，也即 $l$ 不能取到的直线与 $PQ$ 垂直，那么最大值取不到 $\lv PQ\rv$．

计算 $\lv PQ\rv = 4\sqrt 2$．所以距离的值域为 $[0, 4\sqrt 2)$．

最后感受一下朴素做法——将距离表示为一个 $\lambda$ 为自变量的函数，求函数值域．需要用到点到直线的距离公式，会在下个页面介绍．

例题 2.5.2 朴素做法解答

设 $d(\lambda)$ 为所求距离，则：

$$\begin{aligned} d(\lambda) &= \dfrac{\lv -2(\lambda + 2) - 2(\lambda + 1) - 4\lambda - 6\rv}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + (\lambda + 1)^2}} \\[1em] &= \dfrac{\lv 8\lambda + 12 \rv}{\sqrt{2\lambda^2 + 6\lambda + 5}} \\[1em] &= \dfrac{4\sqrt{(2\lambda + 3)^2}}{\sqrt{2\lambda^2 + 6\lambda + 5}} \\[1em] &= 4\sqrt{\dfrac{4\lambda^2 + 12\lambda + 9}{2\lambda^2 + 6\lambda + 5}} \\[1em] &= 4\sqrt{2 - \dfrac{1}{2\lambda^2 + 6\lambda + 5}} \end{aligned}$$

令 $f(\lambda) = 2\lambda^2 + 6\lambda + 5$，不难发现 $f(\lambda)$ 的值域为 $[\dfrac 1 2, +\infty)$．

所以 $d(\lambda)$ 的值域为 $[0, 4\sqrt 2)$．

朴素做法的计算量显然多于数形结合．