圆心为 A(x0,y0),半径为 r 的圆 ⊙A,任意一点 P(x,y) 在圆 ⊙A 上的 充要条件 为:
P(x,y) 到 A(x0,y0) 的距离为 r.
用代数式表示则为
(x−x0)2+(y−y0)2=r
两侧同时平方得
(x−x0)2+(y−y0)2=r2,r>0
该方程称作 圆的标准方程,或 圆的标准式.
对于任意方程
(x−a)2+(y−b)2=c,c>0
可以直接确定方程表示的是一个圆心为 (a,b),半径为 c(注意不是 c)的圆.
圆的标准方程足够表示 任意一个圆 的方程.
注意到,圆的标准方程
(x−a)2+(y−b)2=r2
都可以变形为
x2+y2+Dx+Ey+F=0
的形式.现在我们考虑逆过程:
x2+y2+Dx+Ey+Fx2+Dx+y2+Eyx2+Dx+4D2+y2+Ey+4E2(x+2D)2+(y+2E)2=0=−F=4D2+4E2−F=4D2+E2−4F
这就整理为了
(x−a)2+(y−b)2=c
的形式,但注意还不一定是圆:
- 当 c>0,即 D2+E2−4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F 表示的是 圆.
- 当 c=0,即 D2+E2−4F=0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F 表示的是 一个点.
- 当 c<0,即 D2+E2−4F<0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F 不表示任何图形.
为方便,笔者后面称 D2+E2−4F 为「圆判别式」,用符号 Δ 表示.
Δ 只是为方便本文叙述引入的记号,不能在答卷中使用.
当 Δ>0 时,方程
(x+2D)2+(y+2E)2=4Δ=(2Δ)2
表示一个 圆心 为 (−2D,−2E),直径 为 Δ 的圆,因此对方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
当它的 Δ>0 时,称该方程为圆的 一般式方程,简称 一般式.
一般式 也足够表示 任意圆 的方程,因为任意标准式都能转化为一般式.
对于任意二元二次方程
Ax2+By2+Cxy+D′x+E′y+F′=0
- 满足什么条件时才是一个圆?
- 如果是,它的半径和圆心如何分析?
首先,它必须得能变形成 x2+y2+Dx+Ey+F=0,即 圆的一般式,否则,它必定无法进一步变形为圆的标准方程,进而无法表示圆.因此,我们有如下 必要条件:
- A=B=0.即 两个平方项系数必须相等且不为 0.
- C=0,即 方程不能有 xy 项.
有了这些条件后,方程两侧同时除以 A,即可变形为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.此时只要保证 Δ>0 后,即可确认方程表示圆.
必须将平方项系数变形为全为 1 的形式后,才能将 D,E,F 代入 Δ=D2+E2−4F 判断正负.
当方程平方项系数不全为 1 时,D′2+E′2−4F′ 的正负与 Δ 无关,也不能决定方程是否表示圆.
如果想进一步确认圆心与半径的信息,需要用到先前的变形技巧:
x2+y2+Dx+Ey+Fx2+Dx+y2+Eyx2+Dx+4D2+y2+Ey+4E2(x+2D)2+(y+2E)2=0=−F=4D2+4E2−F=4D2+E2−4F
- 第一步:将 常数项 F 移项 至等号右侧.
- 第二步:两侧同时加上一次项系数的一半,即 4D2 和 4E2.注意:无论 D 与 E 符号如何,这里一定加的是 两个正数.
- 第三步:配方.
即可确定 圆心为 (−2D,−2E),直径为 Δ.
上面两条性质可以直接记忆:
- 填选中 直接看圆的一般式就能直接分析圆的 圆心 和 直径.
- 大题中 需要配方转为标准形式后再得到圆心和半径.
应试中,圆的一般式转标准式也遵循上面的 三步 原则,计算起来是最快而且不易出错的.
已知方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,求圆的圆心坐标和半径.
首先我们要约束它是圆.
- 两个二次项系数相同.a2=a+2,解得 a=2 或 a=−1.
- 当 a=2 时,方程整理为 x2+y2+x+2y+25=0,计算可知 Δ<0,不是圆.
- 当 a=−1 时,方程整理为 x2+y2+4x+8y−5=0,计算可知 Δ>0,是圆.
因此 a=1,一般式为 x2+y2+4x+8y−5=0.
确认它的信息需要转为标准式,操作:
x2+y2+4x+8y−5x2+y2+4x+8y(x+2)2+(y+4)2(x+2)2+(y+4)2=0=5=5+4+16=25因此圆心为 (−2,−4),半径为 5.
已知一个圆 ⊙P 经过点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 三点,求 P 的方程.
直接设 ⊙P 方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,有 D,E,F 三个未知元.
将三个坐标分别代入,形成一个 三元一次方程组,解出即可.
注意:不要设 ⊙P 的方程为 (x−x0)2+(y−y0)2=r2 后代入三点坐标,因为这样做会得到 三元二次方程组,求解难度高.
圆的面积是一个只与半径直接相关,与圆心无关的量.看到面积条件就可以刻画为半径 / 直径条件.
求方程 x2+y2+kx+2y+k2=0 所表示的圆面积最大时,该圆的圆心坐标(填空题).
圆的直径 Δ=k2+22−4k2=4−3k2.显然,直径取最大值时,有 k=0.
该圆圆心为 (−2k,−1).因此面积最大,即直径最大,即 k=0,此时圆心为 (0,−1).
圆的直径为 Δ 大题可能不能直接使用,大题应将题目中的方程配方后再分析半径.
下面四个条件:
- 圆关于 l 对称.
- 圆上存在两点关于 l 对称.
- 等价于圆关于 l 对称后的图形仍是其本身.
- l 平分圆的面积.
这四个条件容易「诈骗地」让人往「对称」去想,但这四个条件都可以很简单地等价于:圆心在 l 上.
与圆的面积恰好相反,这是一个与圆心有关而与半径无关的条件.
若圆 x2+y2−2ax−2a2y+a4=0 上存在两个点关于 y=x 对称,求 a 的值.
该方程表示圆的条件为 (−2a)2+(−2a2)2−4a4>0⟺a>0.
条件等价于该圆的圆心在 y=x 上,即 (a,a2) 在 y=x 上,因此 a2=a,联系 a>0,可得 a=1.
注意判断 Δ>0,这是方程表示圆的重要先决条件.
在例题 1.2 中,由于我们直接讨论直径 Δ,这直接约束了 Δ>0,因此无需特别讨论.
类似 一次分式 可以转换成 斜率,形如
Ax2+Ay2+D′x+E′y+F′
的 「类圆一般式」 可以转换成距离.
考虑将其变形为
A(x2+y2+Dx+Ey+F)
则括号内的部分可以变形为
(x+2D)2+(y+2E)2−4D2+E2−4F
这样以来未知量 x 与 y 全被转化到 (x+2D)2+(y+2E)2 这个结构中,即 (x,y) 到 (−2D,−2E) 的距离的平方.可通过研究这个距离的值域来研究原式的值域.
设直线 l 的方程:
(1+3λ)x+(1+2λ)y−(2+5λ)=0当 λ 确定后,l 确定.此时设 l 上一动点 P(x0,y0),则 x02+y02+4x0 存在最小值,记为 f(λ).
求 f(λ) 的最大值.
将 x02+y02+4x0 转化为隐距离
(x0+2)2+y02−4即 P 到 (−2,0) 的距离的平方减 4.
取最小值时,应使 P 到 (−2,0) 的距离最小,P 为 l 上的动点,因此该最小距离为 Q(−2,0) 到直线 l 的距离.
于是 f(λ) 的含义为
Q(−2,0) 到直线 l 的距离的平方减 4.
要令它最大,Q(−2,0) 到直线 l 的距离应最大,问题变为
求点 P(−2,0) 到直线 l:(1+3λ)x+(1+2λ)y−(2+5λ)=0 的距离最大值.
这是在直线方程的原题,距离最大值为 10.
因此最终的答案(f 的最大值)为 102−4=6.
求函数 f(x)=x2+6x+73+x2−4x+8 的最小值.
注意到 f(x)=(x+3)2+64+(x−2)2+4,
可以刻画为动点 P(x,0) 与 (−3,8)、(2,2) 的距离和最小值.
这是一个标准的将军饮马模型,将一个点对称得 (2,−2),答案为 (−3,8) 与 (2,−2) 的距离 55.
除了 三点确定一个圆,设 圆的一般式,待定系数 最简单外.其余的给几何条件求圆的方程题目,一般都考虑:
- 根据几何条件,分别确定 圆心 和 半径.
- 最后 列圆的标准式.
已知 ⊙C 的圆心位于 x 轴正半轴,M(0,5) 在 ⊙C 上,且圆心 C 到直线 y=2x 的距离为 545,求 ⊙C 的方程.
- 「圆心 C 到直线 y=2x 的距离为 545」是一个 只跟圆心有关的条件.
- 给定 圆上一点坐标,则只要解出 圆心坐标,使用 两点间距离公式 即可得到 半径.
设 C(c,0),c>0,根据条件,C 到 2x−y=0 的距离为 545,有
22+(−1)2∣2c∣=545可解得 c=2(注意 c>0),C(2,0),r=∣CM∣=22+52=3.
因此 ⊙C:(x−2)2+y2=9.
求圆心在 l:4x+y=0 上,且过点 P(4,1),Q(2,−1) 的圆的方程.
不难发现圆心在 PQ 垂直平分线 l′ 与 l 的交点上,考虑求解 PQ 垂直平分线 l′ 的方程.
QP=(2,2) 作为 l′ 的法向量,且经过 PQ 中点 (3,0),点法式给出
2x+2y=2×3+2×0=6即 x+y=3,其与 l:4x+y=0 的交点设为 C(−1,4),即圆心坐标.
圆经过 P(4,1),可知半径为 ∣CP∣=34,因此圆的方程为
(x+1)2+(y−4)2=34