圆的方程

圆的方程基础

圆的标准方程

圆心为 $A(x_0, y_0)$，半径为 $r$ 的圆 $\odot A$，任意一点 $P(x, y)$ 在圆 $\odot A$ 上的 充要条件 为：

$P(x, y)$ 到 $A(x_0, y_0)$ 的距离为 $r$．

用代数式表示则为

$$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r$$

两侧同时平方得

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2, \quad r > 0$$

该方程称作 圆的标准方程，或 圆的标准式．

对于任意方程

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = c, \quad c > 0$$

可以直接确定方程表示的是一个圆心为 $(a, b)$，半径为 $\* \sqrt c$（注意不是 $c$）的圆．

圆的标准方程足够表示 任意一个圆 的方程．

圆的一般方程

注意到，圆的标准方程

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

都可以变形为

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

的形式．现在我们考虑逆过程：

$$\bal x^2 + y^2 + Dx + Ey + F &= 0 \\[1em] x^2 + Dx + y^2 + Ey &= -F \\[1em] x^2 + Dx + \df{D^2}4 + y^2 + Ey + \df{E^2}4 &= \df{D^2}4 + \df{E^2}4 - F \\[1em] (x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2 &= \df{D^2 + E^2 - 4F}4 \eal$$

这就整理为了

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = c$$

的形式，但注意还不一定是圆：

• 当 $c > 0$，即 $\*D^2 + E^2 - 4F > 0$ 时，方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F$ 表示的是 圆．
• 当 $c = 0$，即 $D^2 + E^2 - 4F = 0$ 时，方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F$ 表示的是 一个点．
• 当 $c < 0$，即 $D^2 + E^2 - 4F < 0$ 时，方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F$ 不表示任何图形．

为方便，笔者后面称 $D^2 + E^2 - 4F$ 为「圆判别式」，用符号 $\Delta$ 表示．

注意

$\Delta$ 只是为方便本文叙述引入的记号，不能在答卷中使用．

当 $\Delta > 0$ 时，方程

$$(x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2 = \df \Delta 4 = (\df {\sqrt \Delta} 2)^2$$

表示一个 圆心 为 $(-\df D 2, -\df E 2)$，直径 为 $\sqrt{\Delta}$ 的圆，因此对方程

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

当它的 $\Delta > 0$ 时，称该方程为圆的 一般式方程，简称 一般式．

一般式 也足够表示 任意圆 的方程，因为任意标准式都能转化为一般式．

圆的角度上分析任意二次方程

对于任意二元二次方程

$$Ax^2 + By^2 + Cxy + D'x + E'y + F' = 0$$

• 满足什么条件时才是一个圆？
• 如果是，它的半径和圆心如何分析？

首先，它必须得能变形成 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，即 圆的一般式，否则，它必定无法进一步变形为圆的标准方程，进而无法表示圆．因此，我们有如下 必要条件：

• $A = B \ne 0$．即 两个平方项系数必须相等且不为 $0$．
• $C = 0$，即 方程不能有 $xy$ 项．

有了这些条件后，方程两侧同时除以 $A$，即可变形为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$．此时只要保证 $\* \Delta > 0$ 后，即可确认方程表示圆．

注意

必须将平方项系数变形为全为 $1$ 的形式后，才能将 $D$，$E$，$F$ 代入 $\Delta = D^2 + E^2 - 4F$ 判断正负．

当方程平方项系数不全为 $1$ 时，${D'}^2 + {E'}^2 - 4F'$ 的正负与 $\Delta$ 无关，也不能决定方程是否表示圆．

如果想进一步确认圆心与半径的信息，需要用到先前的变形技巧：

$$\bal x^2 + y^2 + Dx + Ey + F &= 0 \\[1em] x^2 + Dx + y^2 + Ey &= -F \\[1em] x^2 + Dx + \df{D^2}4 + y^2 + Ey + \df{E^2}4 &= \df{D^2}4 + \df{E^2}4 - F \\[1em] (x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2 &= \df{D^2 + E^2 - 4F}4 \eal$$

• 第一步：将 常数项 $F$ 移项 至等号右侧．
• 第二步：两侧同时加上一次项系数的一半，即 $\df{D^2}4$ 和 $\df{E^2}4$．注意：无论 $D$ 与 $E$ 符号如何，这里一定加的是 两个正数．
• 第三步：配方．

即可确定 圆心为 $(-\df D 2, -\df E 2)$，直径为 $\sqrt \Delta$．

上面两条性质可以直接记忆：

• 填选中 直接看圆的一般式就能直接分析圆的 圆心 和 直径．
• 大题中 需要配方转为标准形式后再得到圆心和半径．

应试中，圆的一般式转标准式也遵循上面的 三步 原则，计算起来是最快而且不易出错的．

例题 1.1

已知方程 $a^2x^2 + (a + 2)y^2 + 4x + 8y + 5a = 0$ 表示圆，求圆的圆心坐标和半径．

例题 1.1 解答

首先我们要约束它是圆．

• 两个二次项系数相同．$a^2 = a + 2$，解得 $a = 2$ 或 $a = -1$．
• 当 $a = 2$ 时，方程整理为 $x^2 + y^2 + x + 2y + \df 5 2 = 0$，计算可知 $\Delta < 0$，不是圆．
• 当 $a = -1$ 时，方程整理为 $x^2 + y^2 + 4x + 8y - 5 = 0$，计算可知 $\Delta > 0$，是圆．

因此 $a = 1$，一般式为 $x^2 + y^2 + 4x + 8y - 5 = 0$．

确认它的信息需要转为标准式，操作：

$$\bal x^2 + y^2 + 4x + 8y - 5 &= 0 \\ x^2 + y^2 + 4x + 8y &= 5 \\ (x + 2)^2 + (y + 4)^2 &= 5 + 4 + 16 \\ (x + 2)^2 + (y + 4)^2 &= 25 \eal$$

因此圆心为 $(-2, -4)$，半径为 $5$．

三点确定一圆（三角形外接圆）

已知一个圆 $\odot P$ 经过点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，$C(x_3, y_3)$ 三点，求 $P$ 的方程．

直接设 $\odot P$ 方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，有 $D$，$E$，$F$ 三个未知元．

将三个坐标分别代入，形成一个 三元一次方程组，解出即可．

注意：不要设 $\odot P$ 的方程为 $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ 后代入三点坐标，因为这样做会得到 三元二次方程组，求解难度高．

圆的方程题型

圆的面积

圆的面积是一个只与半径直接相关，与圆心无关的量．看到面积条件就可以刻画为半径 / 直径条件．

例题 2.1

求方程 $x^2 + y^2 + kx + 2y + k^2 = 0$ 所表示的圆面积最大时，该圆的圆心坐标（填空题）．

例题 2.1 解答

圆的直径 $\sqrt{\Delta} = \sqrt{k^2 + 2^2 - 4k^2} = \sqrt{4 - 3k^2}$．显然，直径取最大值时，有 $k = 0$．

该圆圆心为 $(-\df k 2, -1)$．因此面积最大，即直径最大，即 $k = 0$，此时圆心为 $(0, -1)$．

圆的直径为 $\sqrt{\Delta}$ 大题可能不能直接使用，大题应将题目中的方程配方后再分析半径．

圆关于直线对称

下面四个条件：

• 圆关于 $l$ 对称．
• 圆上存在两点关于 $l$ 对称．
• 等价于圆关于 $l$ 对称后的图形仍是其本身．
• $l$ 平分圆的面积．

这四个条件容易「诈骗地」让人往「对称」去想，但这四个条件都可以很简单地等价于：圆心在 $l$ 上．

与圆的面积恰好相反，这是一个与圆心有关而与半径无关的条件．

例题 2.2

若圆 $x^2 + y^2 - 2ax - 2a^2y + a^4 = 0$ 上存在两个点关于 $y = x$ 对称，求 $a$ 的值．

例题 2.2 解答

该方程表示圆的条件为 $(-2a)^2 + (-2a^2)^2 - 4a^4 > 0 \iff a > 0$．

条件等价于该圆的圆心在 $y = x$ 上，即 $(a, a^2)$ 在 $y = x$ 上，因此 $a^2 = a$，联系 $a > 0$，可得 $a = 1$．

注意判断 $\Delta > 0$，这是方程表示圆的重要先决条件．

在例题 1.2 中，由于我们直接讨论直径 $\sqrt \Delta$，这直接约束了 $\Delta > 0$，因此无需特别讨论．

隐距离

类似 一次分式 可以转换成 斜率，形如

$$Ax^2 + Ay^2 + D'x + E'y + F'$$

的 「类圆一般式」 可以转换成距离．

考虑将其变形为

$$A(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F)$$

则括号内的部分可以变形为

$$(x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2 - \df{D^2 + E^2 - 4F}4$$

这样以来未知量 $x$ 与 $y$ 全被转化到 $(x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2$ 这个结构中，即 $(x, y)$ 到 $(-\df D2, -\df E2)$ 的距离的平方．可通过研究这个距离的值域来研究原式的值域．

例题 2.3.1

设直线 $l$ 的方程：

$$(1 + 3\lambda)x + (1 + 2\lambda)y - (2 + 5\lambda) = 0$$

当 $\lambda$ 确定后，$l$ 确定．此时设 $l$ 上一动点 $P(x_0, y_0)$，则 ${x_0}^2 + {y_0}^2 + 4{x_0}$ 存在最小值，记为 $f(\lambda)$．

求 $f(\lambda)$ 的最大值．

例题 2.3.1 解答

将 ${x_0}^2 + {y_0}^2 + 4{x_0}$ 转化为隐距离

$$(x_0 + 2)^2 + {y_0}^2 - 4$$

即 $P$ 到 $(-2, 0)$ 的距离的平方减 $4$．

取最小值时，应使 $P$ 到 $(-2, 0)$ 的距离最小，$P$ 为 $l$ 上的动点，因此该最小距离为 $Q(-2, 0)$ 到直线 $l$ 的距离．

于是 $f(\lambda)$ 的含义为

$Q(-2, 0)$ 到直线 $l$ 的距离的平方减 $4$．

要令它最大，$Q(-2, 0)$ 到直线 $l$ 的距离应最大，问题变为

求点 $P(-2, 0)$ 到直线 $l$：$(1 + 3\lambda)x + (1 + 2\lambda)y - (2 + 5\lambda) = 0$ 的距离最大值．

这是在直线方程的原题，距离最大值为 $\sqrt{10}$．

因此最终的答案（$f$ 的最大值）为 $\sqrt{10}^2 - 4 = 6$．

例题 2.3.2

求函数 $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x + 73} + \sqrt{x^2 - 4x + 8}$ 的最小值．

例题 2.3.2 解答

注意到 $f(x) = \sqrt{(x + 3)^2 + 64} + \sqrt{(x - 2)^2 + 4}$，

可以刻画为动点 $P(x, 0)$ 与 $(-3, 8)$、$(2, 2)$ 的距离和最小值．

这是一个标准的将军饮马模型，将一个点对称得 $(2, -2)$，答案为 $(-3, 8)$ 与 $(2, -2)$ 的距离 $5\sqrt 5$．

给几何条件求圆的方程

除了 三点确定一个圆，设 圆的一般式，待定系数 最简单外．其余的给几何条件求圆的方程题目，一般都考虑：

• 根据几何条件，分别确定 圆心 和 半径．
• 最后 列圆的标准式．

例题 2.4.1

已知 $\odot C$ 的圆心位于 $x$ 轴正半轴，$M(0, \sqrt 5)$ 在 $\odot C$ 上，且圆心 $C$ 到直线 $y = 2x$ 的距离为 $\df{4\sqrt 5}5$，求 $\odot C$ 的方程．

• 「圆心 $C$ 到直线 $y = 2x$ 的距离为 $\df{4\sqrt 5}5$」是一个 只跟圆心有关的条件．
• 给定 圆上一点坐标，则只要解出 圆心坐标，使用 两点间距离公式 即可得到 半径．

例题 2.4.1 解答

设 $C(c, 0), \quad c > 0$，根据条件，$C$ 到 $2x - y = 0$ 的距离为 $\df{4\sqrt 5}5$，有

$$\df{|2c|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \df{4\sqrt 5}5$$

可解得 $c = 2$（注意 $c > 0$），$C(2, 0)$，$r = |CM| = \sqrt{2^2 + \sqrt 5 ^2} = 3$．

因此 $\odot C \colon (x - 2)^2 + y^2 = 9$．

例题 2.4.2

求圆心在 $l\colon 4x + y = 0$ 上，且过点 $P(4, 1)$，$Q(2, -1)$ 的圆的方程．

例题 2.4.2 解答

不难发现圆心在 $PQ$ 垂直平分线 $l'$ 与 $l$ 的交点上，考虑求解 $PQ$ 垂直平分线 $l'$ 的方程．

$\overrightarrow{QP} = (2, 2)$ 作为 $l'$ 的法向量，且经过 $PQ$ 中点 $(3, 0)$，点法式给出

$$2x + 2y = 2 \times 3 + 2 \times 0 = 6$$

即 $x + y = 3$，其与 $l \colon 4x + y = 0$ 的交点设为 $C(-1, 4)$，即圆心坐标．

圆经过 $P(4, 1)$，可知半径为 $|CP| = \sqrt{34}$，因此圆的方程为

$$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 34$$